Гармонические колебания описываются дифференциальным уравнением вида x''=—ax, где a>0. Сделав линейную замену, мы приведём уравнение к виду x''=—x, а введя дополнительную переменную, к системе x'=y, y'=—x . Теперь мы вместо колебаний одной величины рассматриваем движение воображаемой точки с координатами (x,y) в двумерном пространстве, которое называется фазовым пространством. Пользуясь формулой кривизны, можно получить, что кривая, по которой движется точка — фазовая траектория — имеет постоянную кривизну, и поэтому является окружностью. Зная это, несложно установить, что точка движется по окружности с постоянной скоростью (она равна радиусу окружности R в единицу времени), и центр окружности находится в точке (0,0). (Словом, гармонические колебания — это проекция равномерного вращения).
Пусть теперь в момент времени 0 точка находится в верхней точке (0,R) окружности, и движется по часовой стрелке. Через небольшой момент времени t угол между отрезком, соединяющим точку с началом координат, и осью Y, будет равен t радиан. Проведём перпендикуляр от точки к оси Y. Мы увидим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — радиус окружности, один угол равен t, а катеты равны координатам точки — это означает, что координаты точки (R sin t, R cos t). Мы пришли к уравнению синусоиды x=R sin t, это и будет решением исходного дифференциального уравнения.