Семён Сорокин
апрель 2015.
875

Почему графиков гармоничных колебаний является именно синусоида? Где связь между отношением противолежащей стороны к гипотенузе и колебаниями?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
2
2 ответа
Поделиться

Гармонические колебания описываются дифференциальным уравнением вида x''=—ax, где a>0. Сделав линейную замену, мы приведём уравнение к виду x''=—x, а введя дополнительную переменную, к системе x'=y, y'=—x . Теперь мы вместо колебаний одной величины рассматриваем движение воображаемой точки с координатами (x,y) в двумерном пространстве, которое называется фазовым пространством. Пользуясь формулой кривизны, можно получить, что кривая, по которой движется точка — фазовая траектория — имеет постоянную кривизну, и поэтому является окружностью. Зная это, несложно установить, что точка движется по окружности с постоянной скоростью (она равна радиусу окружности R в единицу времени), и центр окружности находится в точке (0,0). (Словом, гармонические колебания — это проекция равномерного вращения).

Пусть теперь в момент времени 0 точка находится в верхней точке (0,R) окружности, и движется по часовой стрелке. Через небольшой момент времени t угол между отрезком, соединяющим точку с началом координат, и осью Y, будет равен t радиан. Проведём перпендикуляр от точки к оси Y. Мы увидим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — радиус окружности, один угол равен t, а катеты равны координатам точки — это означает, что координаты точки (R sin t, R cos t). Мы пришли к уравнению синусоиды x=R sin t, это и будет решением исходного дифференциального уравнения.

9
Прокомментировать

Допустим, мы хотим описать 'движение пружины, которая растягивается, и потом сжимается, и потом снова растягивается, и так до бесконечности. То, что называется ``гармонические колебания''. Что значит ``описать''? Это значит, что зная откуда конец пружины начал растягиваться и сколько времени прошло с этого момента, мы хотим предсказать, где будет конец пружины. То есть мы ищем формулу в виде x = f(t). Где x -- положение конца пружины, t -- время, а f -- это некоторое правило, которое по времени t опредедяет положение пружины x

Самое главное свойство такого движение -- это то, что любая точка оказывается в одном и том же месте через равные промежутки времени. Вопрос: а какое ещё движение обладает этим свойством -- что движущаяся точка приходит в то же место? Ответ: движение по окружности. То есть мы можем вообразить, что вместо пружины у нас окружность, и конец пружины по ней движется. С постоянной скоростью.

Посколько скорость постоянная, то мы точно знаем, какой путь прошла точка с начала движения, просто зная время от начала движения -- то, что мы раньше обозначили как t. Это означает, что мы точно знаем угол наклона радиуса, проведенного из центра окружности к нашей точке.

А теперь самое важное -- переход обратно от окружности к пружине. Если мы точно знаем угол наклона радиуса, то мы точно знаем, куда упадет отрезок, проведенный из точки на окружности на горизонтальную ось координат, поскольку угол образуемый этим отрезком и осью координат -- прямой, а радиус теперь является гипотенузой прямоугольного треугольнка. Следовательно, точки на оси координат -- это просто синус угла наклона (т.к. гипотенуза равна единице, поскольку она -- радиус нашей вооброжаемой окружности, а его мы считаем единичным для удобства). Этот угол мы точно знаем, потому что знаем время t.

В общем, без картинок это немного сложно понять. Но самое главное для понимания -- это то, что любое равномерное колебание можно представить как движение чего-нибудь по окружности.

6
Прокомментировать
Ответить