Ярослав Устюжанин
октябрь 2018.
2812

Что такое размерность пространства, и можете ли разъяснить подробно все до пятого измерения?

Ответить
Ответить
Комментировать
1
Подписаться
3
2 ответа
Поделиться

Короткий ответ. Посмотрите французский популярный фильм «Diménsions» (есть русская озвучка и субтитры).

Как звучит правильный вопрос. Вы спрашиваете «что такое размерность пространства?». Если «пространство» для вас — это то, что вы видите глазами и щупаете руками, то единственное, что можно назвать его «размерностью», — это число 3. Получилась тривиальность. Если математики о чём-то таком рассуждают, наверное, они имеют в виду под словом «пространство» что-то другое.

Правильный вопрос поэтому такой: «что такое пространство и где у него размерность?» – не физическое пространство, а пространство вообще. Точнее говоря, что математики назвали пространством, решив, что такой объект удачно обобщает наше привычное? Заметьте, что это вопрос про математический формализм.

Фазовое пространство. К понятию абстрактного пространства люди шли очень и очень долго, и разных вариантов получилось очень много — «евклидово П.», «аффинное П.», «линейное П.», «риманово П.» и так далее. Но вот одна из идей, на которые они оглядывались.

Помните апорию стрелы у Зенона? Современным языком он говорил, что в любой заданный момент времени движущаяся стрела ничем не отличается от неподвижной, — а значит, движения нет.

Где подвох?

Зенон предполагал (видимо, не замечая этого), что начального положения стрелы достаточно, чтобы описать всё её дальнейшее движение. Это не так. Действительно, второй закон Ньютона определяет только ускорение стрелы! Ускорение говорит, как меняется скорость, и уже скорость говорит, как меняется положение. Так что трёх координат x, y, z физического пространства для описания стрелы недостаточно: нам нужны ещё и компоненты скорости u, v, w. (Вообще-то у стрелы, кроме положения, есть ещё и ориентация, но о ней сейчас можно не думать.)

При полноценном трёхмерном движении наглядно изобразить шестёрку чисел (x, y, z, u, v, w) невозможно, но если, например, стрела просто летит вверх (x и y постоянны, u и v = 0), оставшуюся пару (z, w) можно и полезно изобразить точкой на плоскости, а историю движения тела — кривой, проходящей через эту точку. Физики решили не мучиться и в любом случае считать набор (x, y, z, u, v, w) координатами некоторой точки в воображаемом «фазовом пространстве», которое естественно тогда считать шестимерным.

Именно здесь слово «пространство» перестало обозначать обычное физическое пространство и стало означать что-то более общее. При этом физическое пространство у нас было готовое, и мы вводили в нём координаты, — а теперь наоборот: мы назвали точкой пространства набор координат. Это частый приём, так придумано много полезных обобщений.

На самом деле не обязательно даже думать о фазовом пространстве, чтобы встретиться с многомерием. Если мы хотим, допустим, описывать движение Луны вокруг Земли, то каждое их положение уже описывается шестью числами — положением Земли X, Y, Z и положением Луны x, y, z. Мы говорим, что конфигурационное пространство системы Земля-Луна шестимерно (а фазовое, в котором есть ещё и скорости, двенадцатимерно). Правда, центр тяжести Земли и Луны вместе остаётся неподвижен, MX + mx = const, MY + my = const, MZ + mz = const, так что реально допустимые конфигурации находятся в заданном этим условием трёхмерном подпространстве (а изображающие точки — в шестимерном подпространстве фазового).

Декартово пространство и жизнь после него. Во всех этих примерах точкой пространства я называл просто набор из n чисел (r₁, ..., r), пространство — совокупностью из всех этих точек, а размерностью — фиксированное число n. Эту идею можно развивать, определив в таком «декартовом пространстве» прямые, плоскости, треугольники, сферы и так далее. В каком-то смысле там даже слишком много всего — например, наше пространство не чувствует, что сдвинутый по одной оси треугольник ничем принципиально не отличается от исходного; поэтому нам может захотеться в дополнение к координатам сказать, какие замены координат ничего не меняют. Это можно делать разными способами, и тогда получаются разные пространства и разные геометрии. Но размерность — это всегда вот эта буковка n.

Три, пять, двенадцать... Какая разница? С точки зрения математического аппарата нет никакой разницы между тремя измерениями и пятью. (Есть вопросы с разной сложности ответами — в размерности три бывают скрещивающиеся прямые и радиопередатчики, в размерности два нет — но вопросы формулирутся одинаково успешно.) Проблемы в размерности 5 или 12 возникают не у математики, они возникают только у нашей интуиции: поскольку у нас нет опыта манипуляции с объектами более чем в трёх измерениях, нет и соответствующей интуиции.

Эта логическая цепочка посказывает, что надо изменить: надо приобрести такой опыт. Для этого нужно уметь хоть как-нибудь манипулировать с объектами высоких размерностей, не прибегая при этом к (отсутствующей) интуиции. К чему же тогда прибегать? К математическому формализму. Надо взять аппарат, убедить себя в его разумности, начать в нём работать и обживаться. Интуиция при этом постепенно вырабатывается. Физики и математики — особенно математики! — работают именно так, и на гораздо более далёких от повседневности (но вовсе не обязательно сложных!) объектах современной математики ломают интуицию ещё сильнее:

[T]he fact is that there is nothing as dreamy and poetic, nothing as radical, subversive, and psychedelic, as mathematics. [Нет на свете ничего столь же сказочного и поэтичного, столь же радикального, провокационного и психоделичного, как математика.]

Когда я говорю о математическом формализме, это далеко не всегда вычисления и тем более не вычисления с числами — это могут быть простые вопросы: У любого ли поворота есть ось? Можно ли причесать (гипер)сферу? Как распространяется единичный радиоимпульс? Как могут быть расположены четыре подпространства? (Осторожно: у всех этих вопросов довольно сложные ответы.)

В хороших популярных источниках вам пытаются показать несколько готовых вопросов и ответы на них. Лучшее, что я знаю про многомерные пространства, — это французский фильм «Diménsions». Интуиция действительно немного вырабатывается. К сожалению, возможность задавать свои собственные вопросы и отвечать на них самостоятельно, которую даёт полноценное знание математического аппарата, этим всё-таки не заменишь.

(Забавно, что первые исследователи искуственного интеллекта пришли к идее такого образования интуиции независимо, когда рассуждали о мысленном эксперименте под названием «китайская комната». Иногда мне кажется, что я в нём живу.)

Александр Шпилькинотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
10
-1
Прокомментировать

А что так мало - до пятого? Физики (да и другие ученые) используют пространства 9, 10, 26 измерений. Даже бесконечномерные пространства (пространство Гильберта).

А по существу вопроса так. Размерность пространства - это количество чисел, которые следует задать для того, чтобы однозначно определить элемент (вектор) в этом пространстве.

4
-3
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью