Hayk Sahakyan
октябрь 2018.
710

Как объяснить ученику 8-9 класса, что такое дискриминант квадратного уравнения, как его получили, почему оно работает?

Ответить
Ответить
Комментировать
3
Подписаться
7
2 ответа
Поделиться
АВТОР ВОПРОСА ОДОБРИЛ ЭТОТ ОТВЕТ

На самом деле дискриминант - штука достаточно нетривиальная и объяснить его непросто. Для квадратного уравнения его довольно просто вывести, как Вам показали в комментариях, но это не очень объясняет, что он, собственно, такое и зачем его выводить (в принципе можно было бы не определять отдельно дискриминант, а сразу переходить к формуле вычисления корней кв. уравнения из его коэффициентов, не выделяя дискриминант, как что-то самостоятельное). 

Дискриминант (от лат. discrimino - разделять, отделять) степенного уравнения вида a0+a1*x+a2*x(^2)+...+an*x(^n) = 0 представляет собой (внимание! читать внимательно!) произведение квадратов попарных разностей корней этого уравнения во всех возможных сочетаниях. То есть берем два любых корня уравнения, вычитаем друг из друга и возводим в квадрат, это один множитель. Потом берем другую пару, вычитаем друг из друга, возводим в квадрат - второй множитель. И так перебираем все возможные пары корней и получаем длинный (если n - велико) ряд множителей, которые все перемножаем друг на друга и еще в конце домножаем на an (коэффициент при старшей степени) в степени (2n-2). 

Вот такой ужас в общем случае. В случае квадратного уравнения ax^2 + bx +с = 0 всё упрощается тем, что корня всего два: х1 и х2. Поэтому у нас будет всего два варианта разностей пар корней: (x1-x2) и (х2-х1). Дискриминант, таким образом, будет равен:

 D = a^2*[(х1-х2)^2]*[(x2-x1)^2] 

(еще раз хочется сказать много теплых матерных слов разработчикам сайта, которые за хз сколько лет так и не сделали возможность верхних и нижних индексов)

Давайте посмотрим на эту формулу внимательно. Что можно про нее сказать? Во-первых, сразу видно, что если корни кв. уравнения совпадают (в общем случае уравнения n-ой степени - если хоть два из n корней совпадают), то дискриминант сразу обращается в ноль. Ненулевой дискриминант уравнения показывает нам, что все корни уравнения различны.
Дальше мы видим, что все множители, составляющие выражение дискриминанта, являются квадратами  - квадрат коэффициента и квадраты разностей корней. Это значит, что если все корни уравнения являются действительными числами, то дискриминант никак не может быть меньше нуля, поскольку квадрат любого действительного числа, равно как и разности любых двух действительных чисел, - это обязательно положительное число (или ноль). То есть, если дискриминант меньше нуля, то хотя бы один из корней обязательно является комплексным числом. В случае квадратного уравнения - оба корня.

То есть, дискриминант есть некоторый математический инструмент, который позволяет подразделить (отсюда и название) все n-степенные уравнения на три вида: 1) те, у которых есть совпадающие действительные корни, 2) те, у которых все корни разные и все действительные, и 3) те, у которых все корни разные и некоторые из них комплексные. Это бывает очень полезно для различных практических задач, когда нужно быть уверенным, что все решения уравнения - это действительные числа, поскольку (например!) иначе уравнение не имеет физического смысла. Или нужно видеть, в каком случае задача вырождена (некоторые корни совпадают). И так далее.

Теперь относительно формулы вычисления значения дискриминанта из коэф. квадратного уравнения. Эта формула получена обратным путем и не несет какого-то своего собственного глубокого смысла. То есть, сначала вывели выражение для корней квадратного уравнения от коэффициентов (как Вам показали в комментариях к этому вопросу), потом поставили эти выражения для корней  в формулу дикриминанта как произведения квадратов разностей пар корней (см. выше), возвели в степень/сложили/умножили/сократили и получилось вот это выражение, которое все учат в школе: D = b^2 - 4ac. Таким образом, оно никак не объясняет, что такое дискриминант. Это просто частный случай для квадратного уравнения, поскольку его (как и кубическое) еще можно решить алгебраически.

6
-1

Огромное спасибо за ответ. Думаю ответ удовлетворит интерес детей, ещё незнакомых с высшей математикой.

+1
Ответить

а при чем тут высшая математика. это как раз математика 8-9 класса и есть. 

0
Ответить
Ещё 10 комментариев

Дискриминант в общем виде, проходят уже в университете. А в восьмом классе дается формула дискриминанта для квадратных уравнений, и не особо объясняется, что это, для чего и от куда?

0
Ответить

В университете (институте) ничего такого точно не было. Там с первого курса начался мат анализ пределы, дифиренцирование интегрирование и дальше со всеми остановками. Не скажу точно в каком именно классе, но решение простых уравнений в общем виде у нас было точно в школе. 

0
Ответить

Вот и я об этом, дают формулу, но не объясняют как ее получили. Да, изучением полиномов занимается именно та алгебра, которую мы знаем, но дискриминант полинома в общем виде, выходит далеко за рамки школьной программы.

0
Ответить

Хреновая у вас школа с хреновой программой.

Мне помнится, хотя могу путать, дело было давно, что мы и уравнение 3й степени решали в общем виде. Я бы смело предложил школьникам 10го (сейчас 11го, мы 10 лет учились), которым уже дали на простом уровне основы дифференцирования (у нас правда был вузовский преподаватель и он диференцирование дал сразу нормально), построить алгоритм решения уравнения произвольной степени.

Задача "проанализировать функцию" у нас точно была, и далеко не только для полиномов.

0
Ответить

Аналитическое решение уравнений произвольной степени не существует. Решения уравнений третей степени в общем виде, не означает что вы прошли дискриминант полинома произвольной степени, в общем виде.

0
Ответить

Не аналитическое, решение а алгоритм это чутка разные вещи.

0
Ответить

А если аналитического решения не существует, то какой же может быть алгоритм его нахождения?

+1
Ответить

По старшей степени вы можете определить поведение функции на бесконечностях. Продиференцировав получите полином на 1 меньшей степени. Приравняв его 0 получите уравнение на 1 проще. Его корни вы можете получить по индукции запуская этот же алгоритм. 

Корни уравнения производной = 0 это точки перегиба. Подставив их в оригинальную функцию вы получите отрезки возростания и убывания. Если на границах отрезков функция имеет разный знак ищем корень хоть методом деления пополам. 

Найдем конечно приближение некоторой точности.

0
Ответить

А, это можно, конечно. Только это не алгоритм решения, а численный метод определения корней.

0
Ответить

про дискриминант полинома произвольной степени  ничего не говорил :-)

0
Ответить
Прокомментировать

Я бы объяснял так:

1. Что такое "решение" квадратного уравнения? Это все такие числа х1, х2, х3... что будучи подставлены вместо х они дадут в левой части уравнения 0.

2. давайте рассмотрим исходное уроавнение (1) и очень похожее на него (2)
(1) a * x^2 + b * x + c = 0
(2) (x - x1) * (x - x2) = 0
Очевидно, что корнями уравнения (2) будут х1 и х2.
Мы попытаемся из уравления (1) получить уравление (2). В процессе решения мы получим довольно громоздкую конструкцию и нам будет просто удобно применить для неё специальное обозначение (подстановку), назовём его дискриминант.
*) Вопрос со звёздочкой -- почему на самом деле уравнения (1) и (2) эквивалентны?
На самом деле они эквивалентны по основной теореме алгебры -- если ребёнок захочет это узнать самое время отдать его в физ.мат класс

3. План решения.
Мы попробуем преобразовать уравнение так:
(3)  (x^2 + 2*k*x+ k^2) - m^2 = 0; // воспользовавшись формулой (x+k)^2 = x^2 + 2*k + k^2;
(4)  (x + k)^2 - m^2 = 0; // и по формуле разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b) * (a - b)
(5) (x + k + m) * (x + k - m) = 0 =>
(6) x1 = -k + m; x2 = -k - m;

4. Решение (спасибо авторам сайта, на сайте нет нижнего индекса, формулы будут иногда безобразными)
(1) a * x^2 + b * x + c = 0;
Разделим все слагаемые на " /а"
(1.1) x^2 + b/a * x + c/a = 0;

Приведём эту формулу к виду (3):
(3.1) x^2 + (2 * 1/2 * b/a) * x + 1/4 * b^2 / a^4 + c/a  - 1/4 * b^2 / a^2 = 0;

Обозначим sqrt( x ) как "корень квадратный из х", т.е. т.е. sqrt(b^2/(2a)^2 - c/a)^2 = b^2 / (2a)^2 - c/a;
(4.1) (x + b / (2a) )^2 - sqrt(b^2 / (2a)^2 - с/a) ^ 2 = 0;

(5.1) (x + b / (2a) - sqrt(b^2 / (2a)^2 - c/a) * (x + b/(2a) + sqrt(b^2 / (2a)^2 - c/a))
довольно чудовищное уравнение получилось, спасибо инженерам платформы ....

И тогда аккуратное (6) выше превратится в:
(6.1) x1 = -b/2a - sqrt(b^2 / (2a)^2 - c/a)
(6.1) x2 = -b/2a + sqrt(b^2 / (2a)^2 - c/a)

вынесем знаменатель " / (2а) " за скобки, заметим, что под знак квадратного корня оно пойдёт в квадрате
(7.1) x1 = (-b - sqrt(b^2 - 4*ac)) / 2a
(7.1) x2 = (-b + sqrt(b^2 - 4*ac) / 2a

Собственно мы уже всё решили, осталось только выражение под квадратным корнем обозначить за специальный симовл:
(8.1) D = b*b - 4*ac; // Назовём это выражение "дискриминант"
(8.1) x1 = (-b + sqrt(D)) / 2a; x2 = (-b - sqrt(D)) / 2a;
или
(9.1) х = ( -b ±sqrt(D) ) / 2a; D = b^2 - 4*ac;

1
0
Комментарий удален модератором

ну да "x" забыл в промежуточной записи.
Для меня писать на PC (хоть  математику, хоть calculus как здесь) дико неудобно.

0
Ответить

в пункте (3), в (3.1) вроде всё верно

0
Ответить
Комментарий удален модератором
Прокомментировать
Ответить