Да, сохранилось множество клинков в состоянии, при котором можно представить использование меча на практике. Стоит отметить, что в первую очередь под мечом в комментарии подразумевается клинок; гарда (цуба, 鍔), рукоять (цука, 柄) и ножны могут отсутствовать, что является нормой для японских мечей.
В подкатегории «мечи» списка Национальных сокровищ Японии большинство единиц как раз из периода Камакура (около 78). Гораздо большее число мечей периода Камакура находится в музеях, частных коллекциях, и в том числе и за пределами Японии, но не уверен, что мог бы дать конкретную оценку количества.
Самым эффективным способом отличить реальный меч от подделки — подделка не будет иметь сертификата («оригами») от достойного источника, человека или организации–сообщества по оценке, например современного Общества по Сохранению Японских Художественных Мечей (Нихон Бидзюцу Токэн Хозон Кёкай, 日本美術刀剣保存協会).