Uli Unique
сентябрь 2018.
1130

Довести, що (x+1/y)(y+1/x) більше або дорівнює 4, якщо x більше за 0 і y більше за 0?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
1
1 ответ
Поделиться

f(x,y)= (x+1/y)(y+1/x)=

(xy+1)/y*(xy+1)/x=

(xy+1)^2/xy {делаем замену переменных t=xy, при этом при x y больше нуля t больше нуля}

(t+1)^2/t=

(t^2+2t+1)/t=

g(t)=t+2+1/t = {нужно найти где функция достигает минимума, как это без производных сделать чего-то в голову не приходит, если же производные проходили то}

(t+2+1/t)'=1-1/t^2 , ищем экстремумы приравниваем нулю 

1-1/t^2 = 0 - два корня +1 и -1, -1 - не подходит так как мы помним что при положительных xy t>0

подставляем корень t=1 в уравнение чтобы получить минимум функции(то что это именно минимум очевидно т.к. при t-> +бесконечность функция большая и при t-> 0 с плюса тоже бесконечность.)

g(1)=1+2+1/1 = 4, т.е. наша функция g(t) при положительных t всегда больше или равна 4 и значит и f(x,y) при положительных x,y тоже больше или равна 4 (как дополнение можно указать, что изначальная функция достигает минимума на множестве точек x*y=1, или x=1/y (при x>0, y>0).

0
0

Можно легче.

(t+1)^2/t >= 4

Переносим 4 в левую сторону, получаем

[(t+1)^2-4t]/t >= 0

А (t+1)^2-4t = (t-1)^2

Следовательно, получаем 

[(t-1)^2]/t >= 0

Равенство верное.

+1
Ответить

вот мягким местом чуял, что можно свести к полному квадрату, но не сообразил как 

:-)

при первом же переходе к неравенству т.к. xyt всегда больше нуля, то можно на него смело в самом начале домножить, чтобы не тянулся знаменатель.

так что доказательство будет.

(x+1/y)(y+1/x)>=4 {домножаем на xy, т.к. больше нуля}

(xy+1)(xy+1)>=4xy

(xy)^2+2xy+1-4xy>=0

(xy-1)^2 >=0 - верно всегда

0
Ответить
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью