Зачем нужны основания математики и какое их отношение к философии? Какой подход к основаниям математики является наиболее завершенным и распространненым?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
3
1 ответ
Поделиться
АВТОР ВОПРОСА ОДОБРИЛ ЭТОТ ОТВЕТ

Раз опять все молчат, придется мне, но я не настоящий сварщик, поэтому могу в чем то напутать  

Чтобы занятие математикой вообще было возможно, необходимо определиться с рядом основных вопросов. Вопросы эти предшествуют математике, стало быть математически неразрешимы и требуют философского решения.

Что это за вопросы?

Во-первых, аксиоматика. Набор аксиом, не требующих доказательства, то, из чего мы будет выводить теоремы по правилам логического вывода. И тут нас ждет первая же проблема. Некоторые аксиомы представляются очевидными, но не все. Аксиома выбора, например. С одной стороны, немало доказанных теорем доказаны с использованием аксиомы выбора. С другой, ее принятие позволяет доказать совершенно контринтуитивные вещи, которые, как многим кажется, не могут быть верны. Отказ от аксиомы выбора влечет за собой необходимость передоказывать множество теорем без опоры на нее, что довольно серьезный труд, не факт, что осуществимый. А ведь потенциально можно взять любую из нерешенных математических проблем, то есть утверждение, эмпирически выглядящее верным, но не имеющее доказательств и обьявить его аксиомой - и тут тоже возникает вопрос - а почему так нельзя? Или можно? А какие будут следствия из такого решения?

Во-вторых, почему вообще мы делаем из аксиом выводы? На основании чего? Мы руководствуемся правилами логического вывода, мы считаем что либо доказанным, когда продемонстрировано, как именно из наших аксиом может быть с необходимостью выведено данное утверждение. Откуда берутся правила вывода? Почему они таковы? Могут ли они быть другими? Существуют ли они с необходимостью? Если да, то какова их природа? Являются ли они частью свойств мироздания? Или они результат эволюции мышления и отбора на работоспособность? А где гарантия, что эволюция отбирает именно истинное, что истинное и полезное - синонимы? Или их природа сверхъестественна? Возьмем интуиционистскую математику для примера.  В ней нет закона исключенного третьего, но не как в диалектике Гегеля, когда А и -А могут быть верны одновременно, а наоборот, они могут быть одновременно не верны. Дождь не идет, но дождь и не не идет. В результате в этой математике не применимо доказательство от противного. Мало доказать, что одно из утверждений неверно, нужно доказать, что другое верно, из первого это не следует. Далеко не все может быть доказано в интуиционистской математике, но то, что доказано, доказано куда строже, чем в обычной.

В-третьих, и это, пожалуй, самое важное, каков эпистемологический статус математического знания? Является ли оно истинным или лишь конвенциональным? Изучает ли математика существующие реально объекты (или правильнее будет сказать, обладают ли эти объекты самостоятельным, хоть и нефизическим существованием) или это лишь абстракции, порожденные нашей культурой? Можем ли мы доверять доказательству, прочесть которое у нас не хватит времени за всю нашу жизнь, но которое компьютер проверил и признал верным? Является ли математика просто еще одной наукой, то есть может претендовать лишь на правдоподобные модели или все же она нечто большее?

Все эти вопросы находятся на стыке эпистемологии, онтологии, философии логики, метафизики и методологии науки. Они принципиально важны для математики и они, разумеется, философские.

В настоящий момент наиболее распространена система Цермело-Френкеля, появившаяся в результате обнаружения противоречивости наивной теории множеств, описываемой парадоксом Рассела о брадобрее. Остальные системы носят скорее экспериментальный характер, но некоторые представляют большой интерес и внесли весомый вклад в развитие математики.

Nikita K.отвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
3
-1

Ещё раз спасибо, но я потихоньку начинаю разочаровываться в TheQuestion, раз второй раз находиться только один человек, который отвечает достойно на мой вопрос, хотя и не является специалистом.

-1
Ответить

Лето, возможно все разъехались по отпускам.

-1
Ответить

Спешу вас разочаровать, ваш ответ является полным бредом.

Теория множеств Кантора непротиворечива, и никаких парадоксов в ней не было и нет. То, что открыл Рассел, Кантор уже знал. Только вот не считал это никакими парадоксами. Надеюсь, вы включите логическое мышление, и поймёте, почему.

Аксиома выбора на самом деле многим математикам не нравится и кажется совершенно уродливой. 3амените её аксиомой детерминированности, и получите совершенно нормальную теорию множеств,  без всяких там удвоений шаров.

0
Ответить

Во-первых, вы берете из моего ответа лишь примеры, которыми я пытаюсь проиллюстрировать основную мысль, а бредом объявляете весь ответ целиком, не надо так. Ну или покажите, где ошибка в магистральном направлении. Вдобавок, цепляясь к моим примерам в мелочах, вы игнорируете, что они верны на большем масштабе. Я не упоминал Кантора, стало быть речь могла идти и о теории Фреге. Если парадокс Рассела, кто бы не открыл его первым, никакой противоречивости не демонстрировал, то зачем понадобилась аксиоматическая теория множеств? Аксиома выбора, несмотря на альтернативы, существует и иллюстрирует то, что я пытался проиллюстрировать.

Во-вторых, коль скоро вы, в отличие от меня, специалист, вы могли бы предложить примеры, которые иллюстрируют мысль, не являясь ошибочными, или еще лучше, написать ответ от специалиста, который наверняка мог бы написать больше или лучше меня.

Резюмируя, вам не помешало бы чуть больше доброжелательности и уважения к людям, которые тратят здесь свое время, пытаясь ответить на немногие по-настоящему заслуживающие хорошего ответа вопросы.

0
Ответить
Ещё 31 комментарий
  1. Отвратительно пытаетесь проиллюстрировать.

  2. Ваши примеры неверны ни в каком масштабе. Наивная теория множеств это только Кантор, а не Фреге, ок да? При этом, вы вспомнили "парадокс" Рассела, но, видимо, забыли про "парадоксы" Кантора и Бурали-Форти. Более того, если Кантор насмехался над последним в личной переписке с Гильбертом, то над Расселом сейчас насмехаются математики, ибо всё, что он сделал в математике = бред. Особенно его никому и даром не нужная теория типов или "Принципиа математика".

Аксиоматическая теория множеств возникла, потому что необходимы строгие основания для теории. По аналогии со стройностью оснований геометрии Евклида, которая аккуратно была разложена по полочкам аксиоматически. То же самое было со строгими основаниями  математического анализа, данными О. Коши, или с основаниями теории вероятностей, данными А.Н. Колмогоровым (он первый, кто её аксиоматизировал).

Аксиома выбора хронологически возникла первой как очевидно мыслящаяся вещь. Только вот она не зависит от остальных аксиом теории множеств и может быть заменена.

  1. Почему это не парадоксы? Потому что неграмотные и неумные люди не умеют отличать доказательства от противного. "Парадокс" Рассела - всего лишь теорема о том, что множества не являются своими собственными элементами. Если попытаться опровергнуть это утверждение, мы и получим противоречие. "Парадокс" Кантора это теорема о том, что класс всех множеств не является множеством,  - противное приводит к противоречию. А "парадокс" Бурали-Форти  говорит, что предположение о существовании наибольшей бесконечности ведёт к противоречиям. Всё. Никаких чёрт возьми, противоречий.

Кантор всё это знал ещё до 1900 гг., до того, как третьесортные математики Рассел и Бурали-Форти выдали это за парадоксы.

  1. Я не люблю отвечать на вопросы по основаниям математики, потому что большею частью это ненужная философия. Сами математики прекрасно во всём разобрались и куча философских  теорий о природе этой науки для них словесная мишура.
0
Ответить

Вот вы сейчас просто походя выдали несколько утверждений сугубо философских. «Нужны строгие основания», «может быть заменена» - почему может? почему нужны? Это здорово, что вы знаете математику, но если вы просто бездумно принимаете очевидными эти совершенно неочевидные вещи - ну кто я такой, чтоб вам мешать.

В современной физике полно таких, с чего бы математикам сильно отличаться в этом вопросе?

0
Ответить

Очередная порция бреда от вас. Перестаньте.

Строгие основания нужны исходя из  чисто практических нужд: чтобы иметь критерии противоречивости теоремы.  Гильберт что называл несуществующим в математике? - то, что приводит к противоречиям в рамках выбранной аксиоматики. В противном случае у нас будет не математика, а хаотический набор слов.

"Может быть заменена" это неформальное обозначение вполне конкретных математических работ. Из которых следует, что принятие аксиомы выбора, либо её неприятие не ведут к противоречиям в теории множеств. Это результаты того же Гёделя и  Пола Коэна. Если непонятно, перестаёте нести бред в интернете, и читаете книги про метод форсинга (метод вынуждения).

Далее - сами математики не абсолютизируют аксиоматики  теории множеств. Есть теории множеств с аксиомой выбора, с аксиомой детерминированности, с континуум-гипотезой и без неё; есть даже теория множеств с самопринадлежностью, что противоречит "парадоксу" Рассела.

0
Ответить

Но и вообще, теория множеств сейчас мало кому интересна. Математики с ней уже давно разобрались. То,  что считается парадоксами этой теории, красиво разрешается в теории категорий. Если век назад базовыми объектами математики считались множества, то сейчас это категории, включающие в себя обобщение функций до функторов: мономорфизмов, эпиморфизмов, и т.д. и т.п.

0
Ответить

Строгие основания нужны исходя из  чисто практических нужд: чтобы иметь критерии противоречивости теоремы.  Гильберт что называл несуществующим в математике? - то, что приводит к противоречиям в рамках выбранной аксиоматики. В противном случае у нас будет не математика, а хаотический набор слов.

Вот видите, как легко заставить математика философствовать. Вы же сейчас не математикой занимались, верно?

0
Ответить

Если вы считаете удовлетворение практических потребностей философией - на здоровье. Только вот бредом это не перестанет являться.

Например, начиная с 17 века вплоть до 20 теория вероятностей и статистика представляли собой хаотический набор теорем, и было непонятно, откуда ноги растут. Что считать вероятностью (не в дебильном гуманитарно-философском смысле о том, что есть случайность, а в строго математическом).

Потом явился Колмогоров и сказал "ну не, так не пойдёт. Вот вам аксиоматика, вот определение вероятностного пространства и сигма-алгебры на нём".

0
Ответить

Философия всегда была удовлетворением практических потребностей в первую очередь. Например, практических потребностей в определении вероятностного пространства.

0
Ответить

Опять тупой бред.

Философия предполагает концептуализацию, она претендует на наиболее общее рассмотрение проблем, включая их онтологический и эпистемологический статус.

Математикам этого не нужно. Нужны аксиомы, чтобы можно было проще работать. Всё.

Вы просто по кругу гоняете одну и ту же примитивную мысль.

0
Ответить

Вам стоило бы, хотя бы для тренировки собственной дисциплины, запретить себе на недельку употреблять слово «бред». Мир вокруг тут же станет значительно сложнее, когда нельзя будет просто клеймить все вокруг.

Вот именно о рассмотрении онтологического и эпистемологического статуса математики и был мой исходный ответ. Лично вам это может быть совершенно без надобности, ну так большинство физиков тоже заткнулось и считает. А человек спросил.

А философия, настоящая философия, а не история философии, всегда пыталась решать вопросы, не пытаясь решить которые мы просто ограничиваемся псевдоочевидностью. Если для вас они далеки от практики, это нормально. От практики колки орехов обезъянами эти вопросы тоже далеки. Но к практике быть разумным человеком, чье бытие больше, чем его биологическое существование, они имеют самое непосредственное отношение.

0
Ответить

Опять вы вылили потоки бессмысленных соплей.

Я уже внятно написал - математикам философия в принципе не нужна, даже даром.

Тупые философы раньше говорили "нужна ли актуальная бесконечность в математике?". Неучи вроде Витгенштейна вовсе отрицали необходимость оной.

Когда философ лезет в математику, кроме тупого бреда ничего другого и быть не может.

0
Ответить

математикам философия в принципе не нужна

Могу ли я увидеть математическое доказательство данного утверждения?

0
Ответить

Это не теорема, а наблюдение. Вы превратили нашу беседу в полный бред.

Я милосердно продемонстрировал, что ваш ответ изобилует фактическими ошибками в плане математики, вам что-то не понравилось, и вы сейчас откровенно свели всё к абсурду "докажи математически то, что не является частью математики".

С вами ясно всё.

0
Ответить

Я ж не просто так спрашиваю, а предвидя ответ. Раз это утверждение не является частью математики, то частью чего оно является? Видимо чего-то, что математике предшествует. А что предшествует математике в вопросе того, что необходимо математике? Философия и предшествует. И ответ, который вы даете, он простейший и приходящий первым на ум - ничего не нужно, отвалите от меня. Ну так аксиома выбора тоже первой возникла, как очевидная, а потом оказалось, что она может быть заменена и не просто может, а было бы весьма неплохо. Отрицание мы уже проехали, станция гнев, двери закрываются, следующая станция - торг.

-1
Ответить

Вы совершате очередную примитивную ошибку.

Если какое-то утверждение не часть математики, оно - автоматически часть философии? А, ну да. Оказывается, в природе бывают только два типа суждений: математические и философские.

Премия дебил века вам обеспечена.

0
Ответить

Да ещё и тупая подмена: "А что предшествует математике в вопросе того, что необходимо математике? Философия и предшествует".

Только вот в практическом удобстве нуждается не МАТЕМАТИКА, а МАТЕМАТИК, человек. Структурно теория вероятностей почти 4 века существовала без аксиом. Это людям для удобства надо было всё структурировать.

Но ваша глупость этого не способна понять.

0
Ответить

Бред, сопли, глупость, дебил века. Вы, главное, продолжайте, это дает бонусные очки в дискуссии.

0
Ответить

Это нормальная реакция: я несколько часов вынужден читать ваш тупой бред. Любой человек начинает испытывать дискомфорт от длительного по времени чтения такого количества шлака.

0
Ответить

Мой исходный ответ требовал пяти минут, а обвинения в бреде начались уже там. Если у вас такая легко возбуждающаяся нервная система, есть специальные таблетки. Еще есть кнопка закрытия страницы, подсказать, где она?

0
Ответить

Я отвечаю на ваш бред по той же причине, по которой вы отвечаете мне и строчите свою ахинею.

Вместо того, чтобы поблагодарить меня за фактические исправления вашего бреда по части математики, вы перешли к обсуждению философии математики, при этом прекрасно зная о том, что эта область мне ни капли не интересна и на практике не нужна.

Иначе как идиотией с вашей стороны это не назвать.

0
Ответить

Конечно, есть разные категории суждений. Математические, физические, кулинарные, логистические, когда я сужу, как до работы проще добраться. Так к какому типу суждений относится суждение о том, в чем нуждается математика?

0
Ответить

Во избежание очередных глупостей с вашей стороны, я отвечу на вопрос так:

  1. Суждения о том, в чём нуждается математика как система  - относятся к области метаматематики и философии науки;

  2. Суждение о том "ребята, мне неудобно работать с беспорядочным набором правил, давайте их каталогизируем" относится к психологии  человека, и связано сугубо с удобством. Самой математике от этого ни холодно, ни жарко. История тервера это только доказывает.

Более того - введение аксиоматик не препятствует развитию систем, не зависящих от конкретных аксиоматических систем. И это не философия науки, а история науки.

Вы смогли понять, или помочь?

0
Ответить

Ну вот мы и доехали до принятия простого факта о том, что математика нуждается в философии науки. Поезд дальше не идет, просьба освободить вагоны.

0
Ответить

Вы совсем тупой?

Я же написал раньше сто раз: существует философия математики и метаматематика в целом.

Но при этом я написал, что это всё математикам и даром не нужно. Я уже описывал, что когда тупые философы лезли в математику со своей критикой бесконечности, они сильно изуродовали математику.

0
Ответить

У нас кольцевая линия, что ли? Давайте тогда еще кружок, без остановок - когда вы говорите о том, что математике не нужна философия, вы делаете философское утверждение, которое является самым простым и самым бессмысленным ответом на вопрос о том, что нужно математике, а чтобы дать ответ осмысленный, придется еще немного углубиться в философию математики. Поезд следует в депо.

0
Ответить

Я писал «математикам» она не нужна. Плохо перевираете мои слова. 

Философам она нужна. 

А математикам ни капли. Докажите, что нужна.

0
Ответить

Так ведь это смотря каким математикам. Тем, что в школе математику преподают, совершенно без надобности. А вот тем, кто интуиционисткую математику создавали, тем, кто выбирает между разными подходами свой, тем, кто задается вопросам «есть ли проблема аксиомы выбора?», «в чем эта проблема, если она есть?» и «чем и зачем заменять аксиому выбора?» - тем нужна философия, потому что это все философские вопросы и те, кто ими не задаются, заткнулись и считают. Я понятия не имею, из каких вы, но судя по смелости, с которой от имени всех математиков говорите и вопросу «как стать великим математиком», не из последних.

Задаваясь этими вопросами, они и стали великими математиками, к слову.

0
Ответить

Вы действительно не знаете математику. 

Ваши рассуждения об аксиоме выбора никчёмны. 

И вы так и не доказали, что математикам нужна философия математики.

0
Ответить

А вы каких доказательств ждете, математических? Так их нет. Доказательств иного рода? Они у вас перед носом, но за пределами математики никчемны уже ваши собственные познания. Или, может, вы хотите сказать, что нет никаких проблем с аксиомой выбора? Тогда почему она не нравится многим математикам? Может, вы хотите сказать, что эти проблемы исключительно внутри математики формулируются и решаются? Тогда о чем спорят математики? Казалось бы, берешь и доказываешь, что аксиома кривая и нужна другая, однако ж есть спор, математического решения не имеющий. Разве о доказательстве теоремы Ферма есть спор? Она доказана и точка.

В общем, если вы за пределами математики некомпетентны, то может и не стоило головы от учебника поднимать и людей доказательствами озадачивать, которых вы все равно понять не в силах?

0
Ответить

Ваш бред становится ещё более слюнявым.

Прикиньте - никаких доказательств вы не привели.

Ваши риторические вопросы, кучу которых вы наговорили - не доказательство.

Повторяю для умственно отсталых - больше никогда в жизни не говорите про аксиому выбора. Вы несёте просто слюнявый бред по этому поводу.

Я снизойду до того, чтобы объяснить, почему это слюнявый бред: математики уже давно не спорят об аксиоме выбора. Вы живёте в начале прошлого века что ли? Уже давно есть теория категорий, в которой многие вопросы (сугубо математические, а не философские) теории множеств элегантно решаются.

Гёдель и Коэн показали, что она независима от аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора. На том была поставлена точка. Я даже снизошёл до того, что много выше перечислял вам кучи версий теории множеств, основывающихся на аксиоме выбора, либо без неё.

Математикам аксиома выбора действительно не нравится, потому что допускает построение контринтуитивных результатов. Но сама по себе она очень важна и даже удобна - многие результаты доказаны с опорой на аксиому выбора. И отбрасывать эти важные теоремы просто потому что аксиома выбора кажется некрасивой, нецелесообразно. Это просто неудобно.

0
Ответить

А при чем тут то, спорят ли математики сейчас об аксиоме выбора? Они спорили о ней раньше и спорили именно потому, что есть важные вопросы, связанные с ней. И эти вопросы - философские. Например, хорошо ли, что аксиома дает контринтуитивные результаты. Консенсус в том, что нехорошо, а философия в том, почему это не хорошо.

Дело ведь в том, что вы совершенно не понимаете выше математического сапога. Так, вам по видимому кажется, что математика - это то, чем заняты математики, а философия - то, чем заняты философы. На деле же математику приходится заниматься философией ровно в тот момент, когда он задает себе вопрос «если из аксиомы вытекает контринтуитивное следствие, то допустимо ли применение такой аксиомы?»

Отличие хорошего математика от компьютера, запрограммированного проверять доказательства теорем в том, что его не удовлетворяет «хронологически первый и очевидный ответ», а хочется для этого ответа обоснований.

Вам не хочется, вы просто потребляете то, что сделано другими людьми за вас и это нормально. Ненормально приходить сюда и говорить, что любой человек, который при наличии магазинных пельменей пытается сам разобраться в том, как их делать, идиот, да еще и в процессе этого забрызгивать все вокруг слюной, яростно вопя. Когда будете уходить, не забудьте вытереть монитор. Поезд уже в депо, а нахождение в поезде в депо - хулиганство, особенно если вы в нем нагадили.

0
Ответить

Меня уже утомила ваша истерика.

Математики прошлого действительно совершили ошибку - впустив философию в свои споры. Убери они философский бред, в сухом остатке был бы только один вопрос - влечёт ли существование аксиомы выбора противоречия в теории множеств?

Это исключительно математический вопрос, не философский. Потому что понятие "противоречивая теория" давно уже строго формализовано, и является сугубо техническим вопросом. Равно как понятие "случайное событие" в математике не связано с философским бредом о случайности.

0
Ответить
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью