Что такое дискриминант? Откуда взята его формула? Есть ли некое его "доказательство"?

ax²+bx+c=0

Неизвестное - это x; Известное: a, b, c

Чтобы понять есть ли решения или найти эти решения надо перенести известное в одну сторону, неизвестное в другую.

Вынесем a за скобки:

a(x²+(b/a) *x) +c=0

Теперь хорошо бы сделать из суммы в скобках сумму, которая собирается как (a+b)². Для этого умножаем b/a на 2 и делим на 2 (для удобства) :

a(x²+2(b/2a)*x)+c=0

Помним как должна выглядеть искомая сумма (n²+2mn+m²). Нам не хватает "m²", найдем m:

2mn=2(b/2a)*x, где n =x;

2mx=2(b/2a)*x

2m=2(b/2a)

m=b/2a

m²=b²/4a²

Получаем:

a(x²+2(b/2a)+b²/4a²)+c = нет не 0, так как мы просто так добавили b²/4a², да и ещё и умножили это на a. А значит увеличили на (b²/4a²)*a= b²/4a. А значит:

a(x²+2(b/2a)+b²/4a²)+c = b²/4a

Теперь переносим x и собираем по формуле (m+n) ²:

a(x+b/2a)²=(b²/4a)-c

находим общий знаменатель для правой части уравнения:

a(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a

ну и финал, переносим 4a: 

4a²(x+b/2a)²=b²-4ac

Итог:

1) мы вынесли вправо и a, и b, и c;

2) уравнение квадратное, а значит в зависимости от известных значений может:

не быть

два разных

вроде два одинаковых(может ошибаюсь) 

3)левая часть уравнения всегда больше нуля, а значит если b²-4ac <0 ответов нет

ну остальное это уже другой вопрос, если понадобится напишу, как влияет D на корень уравнения.

В математике нет "доказательств", есть доказательства. В случае с дискриминантом и формулой корней квадратного уравнения доказательство достаточно простое. Нужно подставить предлагаемые формулой корни в уравнение и убедиться, что уравнение превращается в тождество. Если вы вдруг забудете эту формулу, её всегда можно вывести самостоятельно, например так, как сделано в Википедии: wikipedia.org