Convince — убедить человека в чём-то. Например, вы привели аргументы и человек после этого изменил свою точку зрения; объяснили ситуацию и человек вам поверил — это вы его convinced. :) Убедили в правде своих слов.
Persuade — побудить на что-то, уговорить. Здесь основная разница с convince в том, что результатом будет какое-то действие. Уговорить мужа пойти в кофейню далеко от дома, например, — это persuade.