Если обратиться к психиатру с признаками депрессии, поставит ли он на учёт? И сможет ли работодатель узнать об этом?

Такого учета как в СССР нет уже давным давно, его отменили. 

Согласно «Закону о психиатрической помощи…», ни одна организация и ни одно лицо не имеют права писать запросы о том, наблюдается ли человек в диспансере, а психиатрические учреждения не имеют права отвечать на такие запросы.

Но если вас все же одолевают сомнения, вы в любом случае можете анонимно обратиться к частным психиатрам.

если на учёт поставит, то ряд работодателей требуют справку о том, что на учёте не состоишь.

для постановки на учёт надо хотя-бы полежать в заведении разик, а насильно туда тебя положить по закону нельзя (разве что ты с ножом на кого-нибудь накинешься или попытка суицида).

так что за первое обращение никто тебя на учёт ставить не будет можешь смело идти, пообщайся, он тебе порекомендует упражнения для самоконтроля, может лёгкие антидепрессанты.