Photo by Tod Seitz on Unsplash
Vic Fowles
18 августа 20:22.
204

В какой геометрии параллельные прямые пересекаются?

Ответить
Ответить
Комментировать
19
Подписаться
1
4 ответа
Поделиться

Параллельные прямые пересекаются в проективной геометрии. Там вводится понятие бесконечно удалённой точки, в которой они, собственно, и пересекаются.

Множество таких точек образует бесконечно удалённую прямую.

Далее развенчаю дебильный миф: в геометрии Лобачевского параллельные прямые не пересекаются. В его геометрии утверждается, что через точку А, не лежащую на данной прямой а, проходят минимум две прямые, не пересекающие прямую а.

Если параллельными считать прямые, расположенные в одной плоскости, и не пересекающиеся ни в какой точке, то в геометрии Лобачевского таких "параллельных" прямых либо 2, либо бесконечно много. Сами погуглите модели геометрии Лобачевского по Бельтрами, Кляйну, Пуанкаре.

Есть также риманова геометрия, и геометрия Римана. Риманова геометрия это дифференциальная геометрия и прямого отношения к вопросу не имеет.

Геометрия Римана реализуется на сфере. В этой геометрии утверждается, что через точку А, не лежащую на данной прямой а, не проходит ни одной прямой, не пересекающей прямую а. Иными словами, все прямые пересекаются. Точками пересечения служат полюса сферы.

Но и вообще: ни у Римана, ни у Лобачевского-Больяи никаких прямых в евклидовом смысле нет. Там само пространство искривлено. Так что кратчайшее расстояние между двумя точками определяет геодезическую кривую. Например, на поверхности n-мерного шара (т.е. на n-1-мерной сфере) геодезической кривой будет служить часть большого круга.

Альберт Магнусотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
10
Прокомментировать

Ни в какой. По определению, параллельные прямые не имеют точек пересечения.

Теперь давайте по геометриям и заблуждениям. Всюду будут рассматриваться "плоскости", чтобы это ни значило.

Геометрия Евклида. То, что учили в школе, то, что привычнее и почти точно выполняется в повседневной жизни. Выделю те два факта, что будут существенны потом. Первое: в этой геометрии есть расстояние, между любыми двумя точками существует кратчайшая, и притом только одна (отрезок прямой). Второе: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной и при том только одну.

Это соответствует какой-то паре аксиом из учебника Погорелова, поэтому мне удобнее будет на это опираться.

Геометрия Лобачевского. С расстоянием в ней все отлично, но нам его сложно представить из-за постоянной отрицательной кривизны (не поняли - не страшно). С параллельностью сложнее. Через точку вне прямой всегда можно провести не просто одну, а бесконечно много параллельных прямых.

Сферическая геометрия. Во-первых, что мы считаем "прямыми". Прямые на сфере — большие круги = круги, высекаемык на сфере плоскостью, проходящей через центр = круги радиуса равного радиусу сферы. Это прямые в том смысле, что это кратчайший путь между не очень далекими (чуть позже станет понятно, какими) точками. Некоторые могли заметить, что если города находятся на одной параллели, то самолет летит не по этой параллели, а по траектории выпуклой на север в северном полушарии. Если порисуете, то заметите, что большой круг, соединяющий две точки проходит северней параллели.

Чем же плохо расстояние на сфере? Возьмем диаметрально противоположные точки на сфере, для них существует бесконечно много кратчайших. Нагляднее: посмотрю на северный и южный полюса. Все мерилианы проходят через них, все они имеют одинаковые длины, любой другой путь будет длиннее.

Параллельных прямых при этом нет совсем, любые две прямые пересекаютсяются в диаметрально противоположных точках.

Проективная плоскость. Самое главное и первое отличие: никакого расстояния нет и быть не может. В принципе, его нельзя ввести, чтобы оно удовлетворяло каким-то естественным условиям (сохранялось при "движениях" плоскости). Таким образом, ни про какие "бесконечно удаленные прямые" сама геометрия не знает, все это придумано людьми, чтобы как-то понять проективную плоскость. Самый "простой" способ: представить привычную нам плоскость (так называемую "аффинную карту") и добавить к ней прямую, которая "бесконечно удалена", причем все прямые, которые были параллельны данной в плоскости, которую представили, пересекутся в какой-то одной точке на этой "бесконечно удаленной" прямой. Такое описание довольно просто: вот я что-то написал в два предложения, и кто-то что-то уже представил. Но оно вводит в заблуждение, никакой выделенной прямой в проективной геометрии нет. Но уже это описание показывает, что параллельных прямых

в проективной геометрии нет.

3
Прокомментировать

на память из неевклидовых помню римана и лобачевского, кроме чисто аксиоматических построений, как ни странно, они имеют реальные модели где применяются в пространствах определённой кривизны при проецировании плоскостей на сферы. у римана правда если я ничего не путаю просто все прямые пересекаются, а у лобачевского, что существуют пересекающиеся две прямые параллельные третьей т.е. пересекаются не взаимно параллельные (как мы обычно предполагаем слыша эту фразу), а "пересекаются прямые параллельные третьей прямой".

но это всё не точно, не моя специализация и старость уже, мог попутать, вики и учебники в помощь кому очень интересно.

1
Прокомментировать
Читать ещё 1 ответ
Ответить