Возможно ли, не имея отношения к церкви, поступить на обучение в Папский университет Святого Креста в Риме?

Нет, невозможно. Поскольку это Папский университет, к тому же основанный прелатурой Opus Dei и ею же поддерживаемый, он создан для католиков.

На сайте университета можно найти информацию о требуемых для поступления документах. В их числе рекомендация настоятеля вашего католического прихода, если вы проживаете на территории ЕС или Шенгенского пространства, либо официальное письмо от епископа вашей епархии (если вы католик-неевропеец) с обязательством платить за ваше обучение, и это письмо должно быть заверено апостольским нунцием (послом Святого Престола) в вашей стране.

Не всякий католик пройдёт через это игольное ушко, что уж говорить о некатоликах!