На сколько стал моложе нас космонавт Геннадий Падалка за свои 878 суток нахождения в космосе за счёт релятивистского замедления времени?

1. В ответ Сергею.

Рассуждать, исходя из данных спутников GPS тут некорректно. Они движутся в два раза медленней МКС (3,874 км/с для спутников GPS против 7,66 км/c для МКС, это связано с разницей в ПКС для разных высот). Про часы вы, в принципе, правы. Вы пишете, что отклонение составляет 45900 наносекунд (45.9 микросекунд), в то время как по моим источникам это отклонение составляет 38 микросекунд в день. Разница, как написал Александр под вашим ответом, состоит в том, что не учтены эффекты ОТО (рассматривается изменение времени из-за разницы в скорости, но также есть изменение времени из-за разницы в гравитации, это я рассмотрю тоже).

2. В ответ всем, кого интересует, насколько же помолодел космонавт.

Чего гадать? Вот у нас есть формула рассчёта изменения времени для движения с постоянной скоростью на основе преобразований Лоренца:

Δt — время, проходящее в неподвижной системе отсчёта (в нашем случае это будет Земля, она не неподвижна, но мы принимаем её за точку отсчёта) 

Δt₀— время, проходящее для движущегося объекта с точки зрения наблюдателя, связанного с движущимся объектом (в нашем случае космонавт на МКС), 

v — относительная скорость движения объекта

c — скорость света в вакууме.

В формуле у нас нахождение Δt, то есть времени на Земле исходя из скорости и времени на корабле, а нам надо наоборот. Для этого достаточно преобразить формулу, используя знания математики за седьмой класс. Получается, нам нужно просто перемножить знаменатель и Δt:

Разберёмся с величинами:

Δt₀ мы ищем, оно получится в секундах

Δt, если верить вам, равно 878 суток или 75 859 200 секунд. Мы, конечно же, понимаем, что Геннадий не был в космосе вот ну ровно 878 суток и ни на секунду больше или меньше, но в целом результат получится очень маленький и там не будет заметной разницы.

v мы обозначаем как скорость МКС. Так как она теряет в скорости примерно 5 см/с за сутки, и её периодически приходится разгонять, чтобы она не ушла с орбиты (+ корректировки высоты и прочие вещи), мы возьмём за среднее число — 27 724 км/ч или 7701,(1) м/c

c — это скорость света в вакууме, тут придумывать ничего не надо, мы просто находим самое точное значение. Оно составляет 299 792 458 ± 1,2 м/с. Последнее «±1,2 м/с» откидываем за ненадобностью, с его учётом считать такие маленькие величины просто бессмысленно.

Пересчитав, получаем число 75 859 199,9499419841655. Именно столько секунд пройдёт на МКС, когда на земле пройдёт 75 859 200 секунд. Разница в этих числах и будет временем в секундах, на которое помолодел Геннадий Падалка за 878 суток на станции. 

А помолодел он на целых 0,0500580158345 секунд, для удобства можно сократить до 0,05 или 1/20 секунды.

Соответственно, чтобы помолодеть на одну секунду, пребывая на МКС (или на любом другом объекте, который движется с такой же скоростью), необходимо провести там суммарно чуть более 48 лет. Ну или наоборот, каждые сутки космонавт на станции молодеет примерно на 0,000057 или на 1/17544 секунды. 

3. На десерт

4 февраля 2015 года на канале Роскосмос вышел ролик рубрики «Космическа среда». Там, среди прочего, был указан следующий факт:

Космонавт рекордсмен Сергей Крикалёв, который провел на орбите в общей сложности 803 дня, стал обладателем ещё одного любопытного рекорда — самого продолжительного путешествия во времени. По теории относительности, чем больше скорость, с которой движется объект, тем сильнее для него замедляется время. Благодаря космическим полетам Сергей Крикалёв на 1/48 секунды моложе, чем если бы он оставался в это время на Земле.

www.youtube.com/embed/1iXc-iIMrgE?wmode=opaque

Смотреть с 6:30

Я подумал, как же так? Официальный канал Роскосмоса не может ошибаться, почему по моим рассчётам космонавт за 878 дней помолодел на 1/20 секунды, а по их рассчётам за 803 дня — всего на 1/48 секунды (примерно 0,02 против моих 0,05, т.е разница почти в 2,5 раза)? 

Полез искать их рассчёты, и оказалось, что, по всей видимости, они и не считали ничего. Этот факт в том же текст постился ещё как минимум с 2011 на всяких сайтах типа фактрума, и в прочих фактосборниках в соцсетях:

Первоисточника и рассчётов у этой информации нет, так что у меня закрадывается мысль, что премодерации контента, который пихают в выпуск редакторы, на канале нет, или по крайней мере не было три года назад. Я знаю, что ошибка не критичная, но всё же интересно было прогуглить этот момент, так как изначально, когда я увидел этот вопрос и вспомнил выпуск Роскосмоса, думал просто впихнуть цитату оттуда в комментарии, но на всякий случай решил пересчитать.

Доверяй, но проверяй!