Кто такой Бабай и почему он «ёкарный»?

Бабай -- персонаж славянского фольклора, злой старик, которым пугают непослушных детей. Происходит от татарского слова бабай -- "старик, дед".

"Ёкарный" (вариант: "ёханый") -- это очевидный эвфемизм слова "ёбаный". Подобная эвфемизация санкционирует произнесение фразеологизма в широком спектре коммуникативных ситуаций, в которых мат табуирован.

Таким образом, в целом выражение "ёкарный (ёханый) бабай" является восклицанием междометного характера (ср. ёшкин кот, ёлки-палки, ёперный театр, ёклмн и т.д.), заменяющим в речи более грубые (матерные) выражения, также начинающиеся на "ё".

Пожалуй, всё.

Разве что на десерт -- переделка известной бардовской песни ("Солнышко лесное") с упоминанием сабжа:

В детстве маманя пугала меня Бабаём,

"В лес, -- говорит, -- не ходи ни одна, ни вдвоём!

Выскочит вдруг злой Бабай и потащит в кровать..."

Мы побежали с подружкой Бабая искать!!!

Ёкарный Бабай, чудище лесное,

Где, в каких краях, встретимся с тобою?

И т.д.

)))))