Интересы России в международных судах защищают юристы. В зависимости от процедуры судов это может быть юридическая компания, действующие адвокаты или государственный представитель. Допустим в международном суде ООН в Гааге - как правило, представитель государства (скорее всего, юридический советник при МИДе). Если это суд национальный, то, скорее всего, это юридическая компания. Она может быть российской или зарубежной в зависимости от того, кто обладает большим опытом и пользуется большим доверием у соответствующего российского руководства.
К примеру, в Люксембургский суд (это суд ЕС) не допускаются адвокаты, которые не имеют учреждения на территории Евросоюза, поэтому российские предприятия или физические лица, которые оспаривают действия/бездействия институтов Союза, прибегают к услугам европейских адвокатов.
Как правило, адвокатов на международные дела ищет Минюст, но бывают сложные случаи с политической подоплёкой, тогда поиском занимается МИД. Ещё есть Европейский суд по правам человека, там есть специальный представитель Российской Федерации.
Информация о рамках гонораров за подобные процессы носит конфиденциальный характер. Всё зависит от того, в чем сложность производства и какова цена иска. Это может быть фиксированная сумма, может быть процент от полученной суммы - той, которую удалось отстоять.