Игорь Нахал
16 июня 21:47.
86

Какие функции интегрируемы по Лебегу, но не интегрируемы по Риману? (Кроме функции Дирихле). Есть ли какой-то общий класс?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
1
3 ответа
Поделиться

В сущности, ответ и кроется в словах Павла. Если мы рассмотрим, например, множество Кантора - оно не интегрируемо по Риману вообще никак. Но его мера Лебега существует и равна 0. Принцип, получается, простой: не интегрируемы по Риману, но интегрируемы по Лебегу функции, не являющиеся непрерывными и которые не могут быть покрыты интервалами сколь угодно малой длины (более точная формулировка есть опять же выше). Т.к. сам смысл интеграла Римана, получается, именно в том, чтобы осуществить разбиение на сколь угодно малые отрезки и посчитать предел суммы произведений f(x) на дельта х.

Вот пример с множеством Кантора: по сути есть функция, утверждающая: если на [0;1]  построить множество, отбрасывая средние трети, в пределе получим континуум точек. Мера Лебега такого множества есть 0. Риманов интеграл не получится взять, т.к. мера отброшенных отрезков, определяющих точки разрыва функции, равна 1.

По сути, вы сами можете построить кучу подобных функций, просто следуя определению выше. Разрывность функции, я думаю, является одним из необходимых условий.

3
Прокомментировать

Копирую из википедии: Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке [a,b], тогда и только тогда, когда на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной)

1

Каким образом это отвечает на мой вопрос?

-3
Ответить

Если это критерий интегрируемости по риману

-3
Ответить
Прокомментировать

Если функция ограничена (на конечном промежутке), то любая   измеримая функция, мера точек разрыва которой больше нуля. Если не ограничена - то любая интегрируемая по Лебегу функция. 

-1
Прокомментировать
Ответить