Каковы недостатки системы управления, в которой право голоса имеют только те, кто доказал свою компетентность в вопросе, поставленном на голосование?

Очень просто. Интересы тех, кто компетентен, не всегда совпадают с интересами всего общества. Эту проблему можно было бы игнорировать, если бы компетентные люди были еще и моральными лидерами, но их моральные качества достоверно может показать только время, поэтому и нужна сменяемость.

Достаточно очевидно, что при таком способе непропорционально большую власть получают люди, удостоверяющие компетенцию. Собственно, это происходит каждый раз, когда пытаются ограничить право голоса чем-то. Тут же возникает торговля правом голоса, в данном случае торговля компетенцией, и, соответственно, все пироги - коррупция, олигархия и проч.