Российская Федерация - работодатель. Увольняет его Администрация Президента РФ в соответствии с законодательством РФ, даже в трудовую может (да и должна) запись внести. Трудовой договор не нужен, т.к. здесь имеет место.. специальный вид коллективного договора, по сути это уже не трудовые отношения, а государственная служба. Оплата труда устанавливается отдельным НПА, не вспомню уже каким, да и не важно.
Можете считать, что избрание Президентом и вступление в должность - трудовой договор присоединения к коллективному, который заменяют все те положения о государственной службе, какие есть у нас в праве + специальные нормы относительно статуса Президента.
Забавный вопрос, пожалуй, подготовлю на этот счет статью и опубликую в ближайшем сборнике на кафедре, в качестве научной хохмы.
Спасибо автору вопроса!