Игорь Трофимов
23 мая 04:06.
34

Помогите решить задачу по теоретической физике?

Теоретическая физикаТеоретическая механикаМатематикаМеханика
Ответить
Ответить
Комментировать
1
Подписаться
1
1 ответ
Поделиться

Два одинаковых жестких стержня длины R имеют общую точку подвеса O. Стержни могут вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки подвеса независимо друг от друга. К концам стержней прикреплены два одинаковых груза А и В массы т каждый, соединенные между собой пружиной жесткости c. Длина пружины в состоянии устойчивого равновесия системы равна l. Пренебрегая массой стержней, найти частоты главных колебаний около устойчивого положения равновесия грузов.

Я плохо представляю себе, как эти рычаги размещены и движутся друг относительно друга. (А уж техническую реализацию вообще не представляю.) И в одной ли вертикальной плоскости они движутся (ну, наверное), или в двух разных (тогда данных, вроде, маловато). Поэтому решать не берусь. Да и лень. Но общая идея такова…

Закрепленные на рычагах массы имеют по одной степени свободы и, соответственно, положение каждой описывается одной обобщенной координатой. А именно, массы способны вращаться по вертикальному кругу, радиусом в длину их рычага, с центром в точке крепления рычагов. Ну а наиболее удобная обобщенная координата - это угол поворота по этому самому кругу.

Система в целом имеет две степени свободы (1+1) и две обобщенные координаты (угол для первой массы и угол для второй).

Скорость вращения каждой из масс равна длине рычага, умноженной на первую производную обобщенной координаты (производную от угла) по времени. Далее, зная скорости и массы, находим полную кинетическую энергию системы - как сумму кинетических энергий двух вращающихся масс.

Далее, находим потенциальную энергию каждой массы в гравитационном поле Земли как mgh, где m - масса, g - ускорение свободного падения, а h - высота. h зависит от обобщенной координаты (угла) для данной массы как сумма некоей константы и произведения длины рычага на некую тригонометрическую функцию от обобщенной координаты. Константа нам неинтересна (обратится в ноль при дифференцировании) и можно ее просто положить равной нулю (так мы выбрали точку отсчета высоты). А тригонометрическую функцию можно представить в виде косинуса от некоего постоянного угла, ± обобщенная координата. Можно так выбрать обобщенную координату, что будет просто косинус от нее. Для этого коорлината должна обращаться в ноль в самой верхней точке и в ±π - в самой нижней.

Кроме двух потенциальных энергий двух масс, имеем еще и потенциальную энергию упругой деформации пружины. Эта энергия равна произведению расстояния между массами, умножить на коэффициент упругости. Расстояние выражаем через обе обобщенные координаты, учитывая геометрию системы в целом (как уже писал, мне не вполне понятную по описанию). Если оба рычага вращаются по одному кругу (в одной и той же плоскости), то расстояние между массами найти легко. Если плоскости вращения разные, то нужно знать их взаимную ориентацию. То есть, еще и угол между ними. Но, как бы там ни было, а считается, что взаимное расстояние вы можете выразить через две обобщенные координаты системы.

Далее, суммируем все три потенциальные энергии, вычитаем их сумму из кинетической и, тем самым, находим лагранжиан. Лагранжиан засовываем в уравнения Лагранжа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнения_Лагранжа_второго_рода . Получаем из них систему двух дифуров для двух обобщенных координат.

Поскольку приказано решать задачу "около устойчивого положения равновесия", то именно около него и решаете. Это значит, например, что можно пренебречь квадратичными отклонениями обобщенных координат от из равновесных значений. Вероятно, это должно сделать систему дифуров линейной "около устойчивого положения равновесия". И, в частности, позволяет разложить тригонометрические функции в ряд по отклонениям от равновесия и отбросить все слагаемые ряда, кроме нулевой и первой степени.

Еще можно вспомнить, что равновесие - это когда равна нулю сумма всех сил. Имея дело с лагранжианом, удобно пользоваться "обобщенными" силами. В отсутствие непотенциальных сил, обобщенная сила обратится в ноль при равенстве нулю обобщенного градиента от лагранжиана. Иными словами, в равновесии равны нулю обе частные производные от лагранжиана по каждой из обобщенных координат. Эти два уравнения должны, вероятно, помочь вам найти равновесные значения обобщенных координат, квадратичными отклонениями от которых мы пренебрегаем.

Ну, вот… Есть линеаризованная система двух дифуров для двух неизвестных (в роли неизвестных уже не сами обобщенные координаты, а их отклонения от равновесных значений).Из дифуров находите две собственные частоты системы.

Вот пример, как это делалось в другой системе с двумя степенями свободы: http://www.math24.ru/система-тел-и-пружин.html . Разница лишь в том, что там роль "обобщенных" координат играли обычные декартовые, а тригонометрических функций сроду не было. Ну и все три слагаемых потенциальной энергии были представлены упругими силами, а гравитация была не при делах.

Ответить