Реализуемых способов изменения траектории движения чёрных дыр, или даже простых звёзд, не существует.
Упрощённо, чёрная дыра — объект с огромной плотностью вещества, обладающий очень большим гравитационным притяжением. Настолько большим, что даже свет не может покинуть область этого объекта. Граница этой области называется горизонтом событий чёрной дыры. Любой объект попадающий за горизонт событий уже никогда не сможет покинуть область чёрной дыры и в конечном счёте окажется поглощён ей.
Так что толкать ее не получится, так как чтобы брошенное в нее тело смогло заметно повлиять на ее положение оно должно иметь массу, сравнимую с массой звезды. Зато можно "тянуть". Но только в мысленном эксперименте.
Чисто теоретически, если поместить рядом с чёрной дырой звезду (в состоянии покоя), сравнимую с ней по массе, то они образуют двойную систему и начнут двигаться навстречу друг к другу, пока не столкнутся (при этом звезда будет поглощена). А если при этом сообщить этой звезде большую скорость в направлении от чёрной дыры, то она будет тянуть дыру за собой. В зависимости от скорости звезды она либо всё же столкнётся с чёрной дырой, либо покинет систему.
Таким образом положение чёрной дыры изменится.
Update: Отличный материал портала "Постнаука" о черных дырах и гравитационных волнах.
Чёрную дыру можно передвинуть (изменить её траекторию), используя её массу или электрический заряд (разместить достаточную массу в нужном направлении или заряженное тело). Также, она сохраняет момент инерции "проглоченного" вещества, так что падающие на неё тела изменяют её движение, как будто они столкнулись и прилипли к ней