Что такое оператор Лапласа по-русски? :)

3197
2
0
5 сентября
19:59
сентябрь
2015

Мммм.... это будет посложнее, чем окрестность точки, но я все-таки попробую. Оператор Лапласа - это последовательное применение к функции нескольких переменных операторов градиента и дивергенции. Или, что то же самое, сумма вторых производных этой функции по всем координатам. Объяснить, что это значит в общем случае, я не берусь, но приведу конкретный пример.

Предположим, у нас есть нагретое тело и нам надо определить, как оно будет менять свою температуру (остывать) со временем. То есть, найти dT/dt ("скорость остывания") для этого тела (для каждой его точки с координатами (x, y, z)), где Т - температура, t - время. Тогда в соответствии с уравнением теплопроводности, если нет источников тепла, то dT/dt = C*A(T) (ссылка на википедию, где эти уравнения даны в нормальном виде: wikipedia.org ), где С - это некий коэффициент температуропроводности, а А - это как раз оператор Лапласа, примененный к температуре, как функции трех пространственных координат, т.е. сумма вторых производных температуры по x, y, z.

Очевидный вопрос - почему это так? Почему сумма вторых производных температуры по пространственным координатам дает нам скорость остывания? Тут вот нужно как раз понять, что это такое, сумма вторых производных, вернувшись к началу моего ответа. Получается эта штука таким образом: мы берем температуру тела как функцию от пространственных координат Т(x, y, z). То есть температуру тела в момент времени 0 в каждой его точке. Далее мы прикладываем оператор градиента к этой функции. А что такое градиент функции? Это вектор из частных производных первого порядка этой функции по всем координатам. Но в чем его смысл в данном случае? Что показывают первые производные по координатам? Они показывают, насколько в данной точке температура отличается от "соседней" точки. То есть в данном случае градиент фактически показывает, из какой точки "быстрее потечет" температура. Там где градиент большой, там остывать будет сильнее, а где маленький - медленнее. Теперь мы прикладываем к полученному полю векторов первых производных температуры (у нас же много точек, значит будет не один вектор, а векторное поле) оператор дивергенции. А он что делает? Он берет еще одну производную по всем координатам, но переводит вектор обратно в скаляр путем суммирования всех полученных производных. Которые уже будут вторыми, поскольку после градиента получились первые производные. Вот и получилась сумма вторых производных. Но что значит применение оператора дивергенции к градиенту? Мы уже поняли, что векторное поле градиентов показывает нам, где будет остывать быстрее, а где медленнее. Так вот сумма первых производных координат вектора градиента (то есть вторых производных температуры) дает нам фактически "плотность стоков температуры" в объеме. Как бы "скорость появления следующего градиента" в объеме, но поскольку координаты у нас пространственные, а не временные, то не скорость, а скорее плотность. То есть большая дивергенция в большом количестве точек будет означать, что "плотность градиентов" высокая, они понатыканы часто, а малая/нулевая дивергенция в большом количестве точек - низкая/нулевая "плотность градиентов", то есть температура не "течет" отсюда.

Нужно помнить, что как и градиент функции, так и дивергенция функции - это не число, а функция, то есть это не некое среднее, удельное "количество стоков" в теле, как некоторый параметр вроде плотности вещества, а "плотность" в данной точке (x, y, z), как функция этих самых (x, y, z), то есть она будет разной в каждой точке.

То есть, взяв оператор Лапласа для температуры мы сначала (упрощая! это очень неточно и условно!) определили насколько быстро будет остывать тело в каждой своей точке, нашли "стоки температуры", откуда она "потечет" быстро, а потом определили "плотность стоков температуры", то есть определили насколько часто понатыканы эти стоки температуры. Интуйтивно ясно, что определив это мы можем узнать скорость остывания тела, то есть как раз пришли к исходному уравнению теплопередачи.

Вот как-то так. Это частный пример для теплопроводности, аналогичные можно привести из электродинамики или физики сплошных сред, но они будут интуйтивно еще менее понятны. В общем же случае оператор Лапласа - это достаточно абстрактный математический инструмент, который не имеет интуйтивно ясного смысла.

2
3
сентябрь
2015

По-русски, я полагаю будет — опѣраторъ Лапласа, Лапласианъ ;)

Вопрос зачем он вам? Судя по другим вашим вопросам, вы находитесь в самом начале математического анализа. Вам стоит начать с теории пределов, производных и интегралов.

Чтобы понять, что такое оператор Лапласа, для начала стоит узнать, что такое скалярные и векторные поля и с чем их едят. Градиент, дивергенция, ротор — эти операторы тоже пригодятся. Если интересно, можете начать, например, отсюда kemsu.ru

Сам по себе оператор Лапласа — дифференциальный оператор второго порядка (второй «уровень» дифференцирования). Любая попытка объяснить «на пальцах» приведёт к объяснению чего угодно, только не оператора Лапласа.

Где нужен этот оператор? Там, где есть скалярные и векторные поля — электродинамика, гидроаэродинамика, квантовая механика, механика сплошных сред и другие.

Научно-популярные объяснения — это именно те, что грубо объясняют принцип, минуя всякие операторы Лапласа, Гамильтонианы, дивергенции и римановы пространства.

Если вы добрались до Общей теории относительности или уравнения Шрёдингера, то вам придётся либо поверить на слово научно-популярным материалам, либо окунуться в весь этот рай математики и пройти очень долгий путь. Удачи.

Сам я уже многое подзабыл за много лет, да и по большому счёту, нам на химфаке читали сжатые курсы. Однако скажу, что это на самом деле было интересно ;)

0
0
Если вы знаете ответ на этот вопрос и можете аргументированно его обосновать, не стесняйтесь высказаться
Ответить самому
Выбрать эксперта