Объясните пожалуйста понятным языком, что такое "приращение функции" и что значит "в окрестности Х0"? Спасибо, Добрые люди!

577
1
1
5 сентября
19:37
сентябрь
2015

"Приращение функции" - это то, насколько изменится значение функции f(x) при некотором изменении аргумента x, которое, в свою очередь, называется "приращением аргумента". То есть, например, есть функция - квадрат числа, f(x)=х^2. Если х0 = 2, а х1 = 3, то приращение аргумента будет х1-х0 = 1, а приращение функции для данного приращения аргумента будет 9 - 4 = 5. Данное понятие является базовым для введения понятия "производная функции", которое представляет собой отношение приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю приращения аргумента (x1 - x0 -> 0). То есть в окресности точки х0, что приводит нас ко второй части вопроса.

Окрестность точки - это все точки, которые находятся от нее на расстоянии меньше данного расстояния r. В трехмерном пространстве, например, r-окресностью точки х0 будет шар с центром в точке x0 и с радиусом r. Именно шар, а не сфера, то есть все точки ВНУТРИ сферы с радиусом r. А как раз сама сфера с радиусом r НЕ будет относится к r-окрестности, поскольку на расстоянии "меньше r", а не "меньше/равно r" (такой шар называется "открытым шаром"). Часто употребляют понятие эпсилон-окресности. Это значит, что радиус этого шара (например) равен эпсилон. Понятно, что это необязательно должно быть трехмерное пространство, это я просто для примера сказал. Это может быть круг (открытый, то есть без самой окружности) или отрезок (без крайних точек).

При определении производной функции одного аргумента (я подозреваю, что вопрос связан с этим), эпсилон-окресность точки х0 - это как раз отрезок без крайних точек длиной в 2 эпсилон и с центром в точке х0.

1
0
Если вы знаете ответ на этот вопрос и можете аргументированно его обосновать, не стесняйтесь высказаться
Ответить самому
Выбрать эксперта