Как заставить JS изменять html-файл, в который он интегрирован (использую DOM, он работает, но не сохраняет изменения в html-файл)?

Клиентский JS не может изменять файлы на сервере. DOM - это представление структуры страницы непосредственно в браузере и после построения он, собственно, никак больше с исходным html-файлом не связан. 

Так что единственный вариант - отправлять JSом запрос на сервер, который будет его обрабатывать и менять html-файл. Только прежде вопрос - зачем вам вообще его менять?