Метод расчёта орбит планет описал Гаусс в 1809 году в "Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientum" и показал его работоспособность, рассчитав орбиту Цереры. Математика там с современной точки зрения не слишком сложная, но занудная (можно почитать например тут https://math.berkeley.edu/~mgu/MA221/Ceres_Presentation.pdf). Суть в том, что если 3 раза точно определить положение планеты на небе и знать орбиту Земли, то можно составить систему уравнений, определяющую орбиту планеты. Дальше при желании можно добавить больше точек и воспользоваться методом наименьших квадратов, чтобы уточнить результат. А для известной орбиты закон всемирного тяготения разрешает только одну скорость (точнее, одну зависимость скорости от положения на орбите).
Спасибо большое за ответ!