Должна ли наука как одна из форм идеологии быть отделена от государства?

Наука не является формой идеологии, а только совокупностью эмпирически обоснованных и практически полезных моделей описания реальности. 

Должна ли подобная деятельность быть отделена от государственного финансирования? Вряд ли: наука достаточно полезна для того, чтобы чтобы оправдать финансирование государственными деньгами, и зачастую слишком теоретична и одновременно слишком затратна для того, чтобы можно было ожидать, что она будет эффективно финансироваться исключительно частными средствами в условиях современной экономики. Будь то радиотелескопы или БАК, крупные научные проекты сегодня требуют даже не государственного, а международного финансирования. 

В свою очередь, наука (в широком смысле, включая и гуманитарные науки) предоставляет эффективные модели для того, чтобы решать практические задачи - наиболее эффективные из того, что у нас есть в настоящее время. Поэтому опора в принятии государственных решений на научные принципы оправдана в пределах применимости этих самых принципов. 

Однако чрезмерное и некритичное стремление решить абсолютно любые проблемы с помощью научного метода, даже те, для решения которых научный метод не был предназначен изначально, может быть опасным: как показывает практика, попытка решить с помощью научных методов абсолютно всё первым делом уничтожает саму науку, как верно писал Григорий Юдин:

Ирония в том, что во многом ученые сегодня борются с последствиями ... своего натуралистического и позитивистского мировоззрения. Потому что именно это мировоззрение привело к господствующей в последнее время идее о том, что все вопросы можно решить с помощью evidence-based policy. ... И теперь опирающиеся на evidence-based policy менеджеры самих же ученых лишают денег.

Поэтому здесь важно провести границу между наукой и мимикрирующими под неё сциентистскими идеологиями. Последние возникают тогда, когда естественные науки начинает брать на себя не свойственные им функции, претендуя на то, чтобы решать не только эмпирические задачи, но и мировоззренческие вопросы. То есть на то, чтобы определять ценности, этику, выносить суждения по поводу метафизических вопросов и т.д., претендуя при этом на общезначимость и общеобязательность своих ответов.

Параллельно с этим, происходит монополизация науки определённой группой учёных, которые начинают претендовать на то, что их интерпретация науки является единственно верной, а остальные ошибочными. Таким образом, наука утрачивает плюралистичность, дискуссионность - жизненно необходимые для научного дискурса факторы - и быстро перерождается в идеологию.

У подобного сочетания могут быть весьма опасные последствия. Не будем забывать, что именно на апелляции к научности в ХХ веке были основаны коммунистические идеологии и национал-социализм, первые - на классовой теории, второй - на расовой. И научное сообщество с удовольствием поддерживало и то, и другое, например, уничтожение генетики в СССР было совершено не какими-то внешними по отношению к науке силами, а руками самих же учёных, тогдашних борцов с лженаукой. 

Поэтому наука - это инструмент, а не способ принимать решения о том, как этот инструмент использовать. Для принятия решений у нас есть другие механизмы - мы называем их демократическими институтами - и другие средства, прежде всего, философия как основа для рационального обсуждения вопросов мировоззренческого плана. Государство может и должно использовать науку как инструмент и поддерживать этот инструмент в рабочем состоянии, достойно его финансируя. Одновременно с этим оно должно не допускать превращения науки в идеологию и поддерживать плюралистичность научного дискурса также, как оно поддерживает, например, свободный рынок или религиозное многообразие.

Наука - не идеология. Наука - это система объективных знаний и методология их получения и верификации.   А идеология - это система взглядов (мнений, суждений, если хотите),  выражающих какие-то (чьи-то) субьективные интересы.

Наука по определению не может быть идеологией.
Наука может быть только прикладная и академическая.
Государство должно поощрять оба вида, а умное государство должно еще и финансировать.