Почему так получилось, что в русском и английском языках слова «право» и «right» имеют три одинаковых значения («право на жизнь», «направо»,«ты прав»)?

А также, как минимум, во французском и немецком (и наверняка – в ряде других языков).

Право – нечто должное, верное. Однокоренные ему слова (в случае со славянскими языками они образовались от праславянского *prāvъ) – правда, правильный, править (и в смысле «исправлять», и в смысле «направлять в правильном направлении»).

Правая рука – «правильная», т.к. большинство людей правши, и то, что они делают правой рукой, получается лучше, чем то, что они делают левой. Символика правой и левой рук (а также соответствующих направлений) закрепилась в разных культурах в виде традиций и обычаев (например, в исламе нельзя есть левой рукой, в христианстве крестное знамение совершают правой рукой и т.д.), а также в языке: когда мы говорим про товар сомнительного происхождения, то употребляем слово «левый»; английское left-handed имеет переносное значение «неуклюжий», «неумелый»; французское gauche – «нескладный», «косой» (а когда мы говорим про чьё-то доверенное лицо, то называем его именно «правой рукой»).

А так вообще изначально правая рука называлась по-русски десницей, от слова деснъ — правый (не в смысле «невиновный», а в смысле «находящийся справа»). Левая рука называлась шуей.

Кстати, в России есть несколько рек с названием Десна, но все они являются левыми притоками (Днепра, Южного Буга, Пахры). Википедия объясняет это тем, что раньше расположение притоков определялось со стороны устья (сейчас – со стороны истока).

Праиндоевропейский, полагаю.

Нам в Македонии указывали прямую дорогу и говорили "направо-направо". Английское "right" происходит от древнегерманского "reht" (в смысле "рейх"), которое значило "выпрямлять", "править". Наверное, что-то общее в этом есть.

С древнетюркским та же канитель.
По-татарски салкын — холодный, по-якутски салгын — воздух. По-киргизски сут — молоко, по-якутски уут — молоко. Казахское жол (дорога), якутское суол. Русское богатырь и якутское боотур.
Плюс куча топонимов.

Вообще, в древности люди очень тесно общались (через войны и торговлю в основном). Эдакий евразийский котёл постоянно переваривал в себе большие и малые народы.