Почему Крым обладает статусом республики, ведь там основное население - русские (то же самое касается и других республик в составе РФ, например, Карелии)?

Исторически многие бывшие АССР в составе РСФСР имеют статус Республик в РФ.

Республики вправе официально устанавливать свои государственные языки, которые употребляются наряду с государственным языком Российской Федерации. В Крыму это крымско-татарский и украинский.

Национальный состав населения Крыма:

1897 - кр.татары 35,55%, русские 33,11%, украинцы 11,84%

1959 - русские 71,43%, украинцы 22,28%, кр.татары 0,03%

2014 - русские 65,31%, украинцы 15,08%, кр.татары 10,17%