Если вы ЛГБТ-активист и против вас правоохранительными органами было возбуждено производство по статье 6.21 КоАП РФ или 282 УК РФ, допустим, либо если вы ЛГБТ из Чечни, либо если вы неоднократно подвергались преследованиям (побои, унижения, увольнения), подавали по этому поводу заявления в полицию и прокуратуру и получали отказы, то в этом случае у вас есть все шансы на получение политического убежища в любой безопасной стране. Лично я бы посоветовал вам Швецию либо Канаду. Важно отметить, что в данном случае в вашем паспорте должна стоять исключительно либо шведская, либо канадская виза, а до самой страны вы должны добираться без пересадок в третьих странах, которые признаны международным сообществом безопасными (например, если вы поедете в Швецию через Финляндию, то вас после первого же собеседования отправят в Финляндию, однако если вы полетите в Ванкувер через Пекин, то вас, конечно, в КНР никто не вернет). С собой вам необходимо взять все документы, подтверждающие вашу личность, образование и так далее, а также документы, которыми вы сможете доказать факт преследования на родине - бумаги из МВД, отказы, справки о побоях, приказы об увольнении, фото и видеоматериалы, поручительства ЛГБТ-организаций и так далее. Комментатору выше не верьте - там чушь, многие ЛГБТ-беженцы из России получают убежище в США, Канаде, странах ЕС и Аргентине каждый год.
P.S.
Дополню, пожалуй, свой ранний ответ. По моим сведениям, по рассказам моих ЛГБТ-друзей, уехавших в ЕС в качестве беженцев, и по факту моего общения с адвокатами и юристами из стран ЕС, скажу, что в последнее время убежище ЛГБТ-люди из России (даже при минимальных основаниях либо при полном их отсутствии) очень просто получают в Испании. Эта страна к ЛГБТ-беженцам из России и стран СНГ относится крайне лояльно, и даже если кто-то и получает отказ в миграционной службе, суды потом все равно дают убежище, если речь заходит об ЛГБТ.