Обязан ли учитель подмечать ошибки , может ли учитель ничего не исправить и при этом поставить 2 ?

Подмечать,обязан если это работа в чем-то, где пишут ручкой(тест,тетрадь,контурная карта, тетрадь с заданиями и т.д.)

Да. Может.

Например,вы сдали абсолютно пустую работу,где ничего нет-учитель поставит кол. 

Если это устный ответ,то учитель может послушать,ничего не исправлять,а потом сказать-садись два!

Если это физкультура,то учитель может поставить два никак не описывая свои действия или вы сами понимаете почему(нет формы или что-то другое).

Может поставить два,за то что ученик не готов к уроку. У него нет тетради. Он нарушает дисциплину. Он не работает на уроке.

Учитель может поставить два,если вы не сделали домашнее задание. 

Может поставить трудовик по разным причинам,например плохо сделал работу. 

Учитель английского за разговоры на русском. 

Могут поставить за опоздание на урок. 

Больше придумать не могу.

Не могу отвечать за все предметы, но думаю, что принцип везде примерно одинаков.

В английском языке, например, есть разные типы заданий. Есть задания на отработку правильности грамматики, произношения, использования слов. Здесь исправлять ошибки нужно и важно, притом делать это необходимо сразу как только ошибка совершена - так снижается риск укоренения данной ошибки. Бывают задания на более свободную практику - говорение, сочинение. Здесь гораздо важнее как студент/ученик в принципе справится с заданием6 будет ли его понятно. Далее ошибки можно выносить на доску, не указывая кто конкретно их совершил. Можно исправлять ошибки всем классом.

В любом случае, при выполнении любых заданий обратная связь обязательна, ведь учащийся должен понимать, что он делает хорошо, а что плохо. Тем более если учащемуся ставят неудовлетворительную оценку.

Никогда не слышала о каком-то своде "обязанностей" учителя по проверке работ. Не знаю, конечно, как в государственных школах, но в частных языковых, где я работала, никто преподавателей не обязывает как-то "правильно" проверять работы. Одни забирают тетради на дом, другие перед уроком выборочно смотрят несколько упражнений, третьи спрашивают только - "есть какие-то вопросы по домашнему заданию"?

Подход к исправлению ошибок тоже может быть разным. Сейчас, например, набирает популярность не исправление ошибок красной ручкой, а подчеркивание правильных вариантов зеленой - так у ученика не страдает самооценка (я наделал кучу ошибок!). В тестах я люблю ставить напротив задания знаки + и -. Тоже, по-моему, логично - если мы отмечаем неправильные предложения, то почему не отмечать и правильные? Ошибки люблю не исправлять а подчеркивать - зачем делать работу за ученика? 

Ну, а насчет того чтобы совсем не проверять работу - такое тоже возможно, если сдают откровенный трэш, демонстрирующий неуважение к преподавателю. Например, когда сдают "сочинения", сделанные через гугл-транслейт. Это всегда видно с первых слов, и я недоумеваю когда вижу преподавателей, тщательно исправляющий ошибки автоматического переводчика. Ну или когда в тестах ставят случайные варианты. Как-то пришли две девушки писать вступительный тест, сидели над ним минут 40. Когда сдали работу первой фразой было "He am my friend". Спрашивается, что тут дальше проверять? (И да, чем они занимались все эти 40 минут???)