Почему 0!=1?

Ответить
Ответить
Комментировать
2
Подписаться
4
4 ответа
Поделиться

Это соглашение, с которым многие формулы с факториалом становятся проще. Например, биномиальный коэффициент C_n^k определяется как n!/(k!*(n-k)!) для всех k от 0 до n. Если бы соглашения про 0! не было, то случаи k=0 и k=n пришлось бы рассматривать отдельно

23
-6
Прокомментировать

Простые способы показать равенство 0! = 1 были уже разобраны. Давайте немного помучаем себя и докажем это строго! Способ сложный - не для школы точно)

Вспомним замечательную гамма-функцию Γ(z). Вообще говоря, это функция комлексного переменного, иными словами: z ∈ ℂ. Но так как ℝ ⊂ ℂ (то есть все действительные числа - комплексные тоже), мы можем подставлять и действительные числа в качестве аргумента (если z = a + ib, где b = 0, i² = -1, то z - действительное число).

Определяется гамма-функция так:

Γ(z) = ∫(t^(z-1)e^(-t))dt в пределах от 0 до +∞, где Re(z) > 0 (т.е. z = a + ib Λ a > 0)

(Картиночка для наглядности)

Для целых неотрицательных чисел справедливо равенство: z! = Γ(z+1)

По факту 0! = Γ(1)

Осталось посчитать Γ(1). Так как Re(1) = 1 > 0, то определение гамма-функции нам подходит. Считаем:

Γ(1) = ∫(t^(1-1)e^(-t))dt = ∫e^(-t)dt = lim(-е^(-t)) - (-e^0) = 1

Пределы интегрирования: от 0 до +∞; в пределе t ->+∞, предел будет равен 0, а само значение ф-ции получится равным единице.

(Картиночка для наглядности)

Отсюда: 0! = Γ(1) = 1

PS. На картиночке в заголовке тоже написано определение гамма-функции)

15
-1

Отлично!

-1
Ответить

Больше так не объясняйте

-3
Ответить

Значения функций n! и Г(n+1) совпадают при n — натуральное. Если 0! принимается равным 1, то значения функций n! и Г(n+1) совпадают при n — целое неотрицательное. Значение 0! не обязано совпадать с Г(1).
Очередное псевдодоказательство.

-1
Ответить
Ещё 1 комментарий

Г(z+1) и z! совпадают при z целом неотрицательном, а не просто натуральном, по определению (в смысле данного определения через интеграл). Если угодно, то при z натуральном в соответствии с западной литературой, где 0 - натуральное число. Так что это не совсем корректное замечание. 

0
Ответить
Прокомментировать

Это очень просто доказать. Смотрите: 5!=1*2*3*4*5 4!=1*2*3*4 или 5!/5 3!=1*2*3 или 4!/4 2!=1*2=3!/3 1!=1=2!/2 А значит мы получаем, что: 0!=1!/1 =1

24
-11

Из вашего доказательства вывод 0!=1 напрямую не следует, так как из самого определения факториала следует, что 0!=0: мы ведь просто ничего ни на что не умножаем. Причём 1!=0!, что вообще кажется странным и неверным. Таким образом, мы имеем два противоречащих друг другу утверждения, каждое из которых может быть доказано: одно из определения факториала, другое из формулы, определяющей соотношения факториалов близлежайших чисел. Следовательно, необходимо признать, что вывод 0!=1 принят, как более приемлемый и удобный, либо также доказывать, что 0! не может быть равен 0. Но такого доказательства, как я понимаю, нет.
 На самом деле это, конечно, просто принято как аксиома или как соглашение.

+20
Ответить

Плюсую Алексея. То что дано по определению не надо доказывать. Факториал определён рекурсивно как:

  • 0! = 1
  • n! = (n - 1)! * n, n >= 0
+3
Ответить

Игорь Трофимов вы просто показываете целесообразность соглашения о тождественности 0! и 1, которую невозможно доказать. Если 0! принять равным 1, то все значения факториалов удовлетворяют единственному рекуррентному соотношению n! = n ⋅ (n − 1)! Вот это вы и иллюстрируете.
Даниил Колесниченко по соглашению*
Почему бы не переопределить факториал нижеследующим образом?

  • 1! = 1
  • n! = (n − 1)! ⋅ n, n > 1
0
Ответить
Прокомментировать

В большинстве языков программирования знак "!=" означает не равно, по этому 0 (не равно) 1, вот и всё.
140символов140символов140символов140символов140символов140символов140символов

0
-1
Автор удалил свой комментарий
Прокомментировать
Ответить