В целом, большая часть Токая принадлежит Венгрии, и лишь небольшая часть — Словакии (там всего лишь 7 деревень в Требишовском районе). Так что по большей части Токай венгерский. А вот с Токайским вином ситуация интереснее.
В середине прошлого века венгры попросту скупали всё вино, выпускаемое на словацкой части токайских виноградников, после чего реализовывали его под наименованием венгерского токая; когда позже словаки выпустили на рынок словацкий токай (Tokajske vino), это и вызвало долговременный спор по вопросу, который Вы задали. Несколько типов словацких токайских вин, выпускаемых в настоящее время, весьма высокого качества, но гораздо более дёшевы.
Так вот, «Tokaji» называются вина как раз из Венгрии; винопроизводители из словацкой части Токая согласно решению Европейского союза маркируют свой товар, произведённый в соответствии со стандартами качества, действующими в Венгрии, как «Tokajský/-á/-é».
Я сам немного запутался, но если я правильно понял - Токай - венгрия; Токайское - словакия