Они решают обратную задачу хэширования.
В криптографии (и вообще в математике) есть задачи, которые трудно решить, но легко проверить правильность предложенного кем-то решения. Такие задачи (или методы, если угодно) используют, например, для шифрования передаваемой информации в интернете. Или для хэширования (вычисление некоего достаточно уникального числа - хэша, на основе исходного пароля), что позволяет потом не хранить пароль у себя и, тем не менее, проверять правильность пароля пользователя (вычислив его хэш и сравнив с хранящимся в памяти числом).
Вычислить хэш по паролю легко, а найти перебором пароль по хэшу (решить обратную задачу хэширования) - сложно.
Алгоритм в системе биткойна задает некий хэш. Точнее - некий интервал возможных значений для хэшей. А процессоры ищут пароли, чей хэш попадет в этот интервал. Постоянсиво скорости майнинга достигается сужением интервала (усложнением задачи) при увеличении числа участников и расширением - при снижении числа майнеров (упрощением задачи).
Когда один из майнеров находит, наконец, подходящее решение, он об этом сообщает всем прочим (передает пароль). А они проверяют правильность (вычисляют хэш и сравнивают с интервалом - это уже просто) и если убеждаются в факте решения, то записывают в своем регистре биткойн на счет майнера, нашедшего решение ("пароль", если угодно). Если запись сделает более половины участников системы, биткойн признается всей системой и его можно тратить тому, кто нашел решение (намайнил биткойн).
Пока никто не контролирует 50% участвующих компьютеров, система остается устойчивой к взлому. Даже если 49% запишут биткойн не на тот счет, владелец нехорошего счета не сможет им воспользоваться. А настояшему владельцу хватит и признания 51% участников. И тем устойчивей система, чем больше в ней независимых участников.
Подробнее: