Вопрос, конечно, довольно сложный, хотя бы из-за неоднозначности самого слово "наука". Как минимум, можно выделить четыре возможные точки появления "науки" и, соответственно, четыре её понимания.
В антропологии, например, в работах Б. Малиновского, наука может рассматриваться как совокупность любых рациональных знаний и практических навыков. Например, умение аборигенов построить каноэ или или эффективно заниматься сельским хозяйством для Малиновского является первобытной наукой.
Другие авторы связали бы появление науки с появлением культуры доказательства в Древней Греции. Тогда появление науки по времени совпадает с появлением первых геометрических теорем, например, теоремы Фалеса (ок. VI в. до н.э.).
Для третьих отцом науки является Аристотель, выделивший логические законы, сделавший акцент скорее на эмпирической науке и задавший основы для научной картины мира на последующие полторы тысячи лет.
Четвёртые скажут, что наука появилась тогда, когда появилось классическое естествознание, т.е. с трудами таких авторов как Галилей и Ньютон.
В последнем смысле (как классическое естествознание) "наука" уже в значительной мере "отмерла" в том смысле, что на смену классической науке пришло новое понимание научности, т.н. "неклассическая" и "постнекрассическая" наука в терминологии известного российского философа Стёпина.
Во втором и третьем смысле "наука" вполне может если не "отмереть", то отойти на второй план в будущем, поскольку она в этом случае понимается как исторически возникший способ освоения мира, так что не является невозможным появление с течением времени более прогрессивных способов освоения мира.
Наконец, в первом смысле "наука" вряд ли отомрёт быстрее, чем чем само человечество, потому что в этом значении понятие наука охватывает вообще всю конструктивную рациональную деятельность человека.
Наука, как поиск методов преобразования под себя всей окружающей действительности, есть основная, родовая черта человека разумного. Поэтому она станет основной, а возможно и практически единственной областью самореализации человечества и может отмереть только вместе с ним.