TooManyVoices InMyMind
ноябрь 2017.
1851

Почему плоскость проходит именно через три точки, а не через две, одну?

Ответить
Ответить
Комментировать
1
Подписаться
3
3 ответа
Поделиться

3 точки для задания плоскости требуются потому, что плоскость является 2-мерным подпространством трехмерного пространства. Для одномерного подпространства двумерного пространства (для прямой на плоскости) аналогом плоскости является одномерная прямая и она задается двумя точками. Для нульмерного в одномерном (для точки на прямой) - одна точка (сама точка собственной персоной). Ну а трехмерную гиперплоскость в четырехмерном пространстве можно однозначно задать с помощью четрех точек. И т. д.

  • Уравнение гиперплоскости любой размерности N в пространстве размерности (N+1) задается точкой плоскости и нормалью (вектором, перпендикулярным плоскости).
  • Альтернативно, гиперплоскость можно задать точкой и N линейно-независимых векторов, лежащих на плоскости. Из этих векторов можно либо получить нормаль - из условия равенства нулю скалярных произведений нормали с каждым из N векторов гиперплоскости. Либо получить каждую точку гиперплоскости, стартовав из единственной нам известной.

    Представьте, например, что Земля - двумерная плоскость (N=2) без преград для движения, а вы находитесь в какой-то одной точке. В любую другую точку можно попасть, пройдя X километров на юг (для X<0 это значит |X| км. на север) и Y - на восток (для Y<0 это значит |Y| км. на запад). То есть, достаточно дополнить ОДНУ точку ДВУМЯ векторами, задаться коэффициентами X, Y при этих векторах и вы попадете в некую другую точку. А перебрав все возможные пары (X, Y) - получите все точки гиперплоскости. 

    В примере векторами были "южный" и "восточный"  километровой длины; в общем случае длины векторов могут отличаться от 1 и друг от друга, а сами вектора не быть ортогональны друг другу - достаточно линейной независимости. Например, можно вторым вектором на плоскости взять не "восток", а "юго-юго-восток".

  • Наконец, вектор определяется двумя точками. Если одной из них взять известную нам точку гиперплоскости, то необходимые N линейно-независимых векторов потребуют для себя еще N точек плоскости. Всего для однозначного описания гиперплоскости точками понадобится (N+1) точка (по одной - разной - для каждого из N векторов, плюс еще одна - для всех сразу и как стартовый пункт). Для двумерной (гипер)плоскости имеем N=2, а точек надо (2+1)=3.

16
0
Прокомментировать

Плоскость проходит и через одну точку, и через две точки, и через три точки, и даже через бесконечное множество точек. Но единственным образом определяется только через три точки, не лежащие на одной прямой.

15
0
Прокомментировать

Хотите максимально просто? Представьте точку и прямую, через нее проходящую. Например, длинную палку в руке :) Вы можете вращать эту палку как угодно - и она будет оставаться в вашем кулаке. Но как только ее схватит другой кулак, палка остановится. вращать ее уже будет нельзя (вращение вокруг ее оси вращением не считается - палка, моделирующая прямую, диаметра не имеет). Так две точки однозначно определяют прямую.

Теперь прицепим к палке что-то плоское - скажем, фанерный лист. Теперь уже эту палку можно вращать, так что, будучи фиксирован двумя кулаками, лист все равно может вращаться вокруг оси, проходящей через две точки.

Пока третий кулак - не лежащий на этой прямой - не остановит его вращение...

Пример можно продолжать и для больших измерений, но тут у обычных людей уже не хватает воображения - чай, в трехмерном мире живем...

1
0
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью