Не может, и в принципе легко понять какие проблемы сразу возникнут. Есть закон сохранения импульса m1*v1+m2*v2=P=const. И все взаимодействия его преданно соблюдают. Но если m2, например, отрицательна, то в рамках классической физики, скорости этих двух частиц можно бесконечно увеличивать |m1|*v1-|m2|*v2=const. Например в с помощью гравитации. Сила притяжения F=G*m1*m2/r^2, получится что если m2<0, то сила отрицательна. Тогда обычную массу m1 масса m2 будет отталкивать (a1=F1/m1), но тело с массой m2 будет ускоряться по направлению m1, ведь компонента силы F действующая на m2 направленна от m1, и масса m2 отрицательна. Получается что ускорение a2=F/m2 направлено к массе m1. Получается такой бесконечный разгоняющий паровозик, m1 отталкивается от m2 и летит прочь, а m2 притягивается к m1 и летит за ней. И это, как я уже показал, не противоречит ни закону сохранения импульса, ни закону сохранения энергии (ведь кинетическая энергия тела с отрицательной массой всегда отрицательна). То же будет и с Землей и отрицательной массой, гравитации все равно Земля у вас или не Земля.
Аналогично будет и в теории относительности. Там с помощью отрицательной массы можно будет собрать варп-двигатель как в Стар Треке или пузырь Алькубьерре.
wikipedia.orgПоскольку в общей теории относительности гравитация есть проявление искривления пространства-времени, дополнительных патологий отрицательная масса принесет кучу. Типа дыр в пространстве, зацикленного времени для некоторых наблюдателей (это значит что пролетев какой-то путь наблюдатель вернется в ту же точку пространства-времени и встретит себя в прошлом) и прочее. А в квантовой теории частицы с отрицательной массой могут и будут неограниченно рождаться из вакуума вместе с обычными частицами снова и снова. Но в природе даже обычные частицы из ниоткуда же не рождаются. Короче, если ввести в теорию чистую саму по себе отрицательную массу, физика сломается. Так что даже гипотетически нет.