По разному. Воевали с ними (например, с могущемтвенной Венецианской республикой, или со Швейцарией, чья пехота задала рыцарям жару), мирились, дружили, заключали союзы против других монархий или республик, торговали (с той же Венецией, например). Нанимали их граждан в свои войска (та же швейцарская гвардия во Франции, или, скажем, в Ватикане).
Субъекты с республиканским образом правления могли быть вассалами монарха (например, вольные ганзейские города входили в Священную Римскую империю). Возможен был и обратный вариант, когда сюзереном была республика (например, республиканская Франция все еще остается одним из двух сюзеренов Андорры).