Игорь Колганов
октябрь 2017.
227

Как считается формула сложных процентов?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
3
1 ответ
Поделиться

Не знаю, что вы понимаете под "считать формулу", но сложные проценты - это экспонента. Чтобы уметь их посчитать в любой прямой или обратной задаче, надо:

  1. Отказаться от представления в "процентах". Вместо "на X процентов в год" использовать "в (1 + X/100)  раз в год" и т. д. Уже сам по себе переход к нормальным числам (и от мнимого сложения к реальному умножению) должен многое прояснить. При необходимости можно пересчитать конечный результат обратно в проценты (отнять единицу и умножить разность на 100%).
  2. Если известно, что за время t "сложный процент" составит X%, это значит: нечто увеличится в (1 + X/100)  раз за t. А при удержании процентов - нечто снизится в (1 - X/100) раз. Тогда за любое другое время T увеличение/снижение составит (1 ± X/100)^(T/t) раз. Если вы не можете напрямую возвести (1 ± X/100) в произвольную степень, можно представить все через экспоненту и натуральный логарифм: (1 ± X/100)^(T/t) = EXP { (T/t) × LN [ 1 ± X/100 ] }. Естественно, одно и другое время должны быть выражены в одинаковых единицах (годах, месяцах, неделях, днях и т. д.)
  3. Если вы решаете обратную задачу (через какое время T нечто возрастет/снизится на Y%, если за t оно возрастает/снижается на X%), то (1 ± Y/100)  = EXP { (T/t) × LN [ 1 ± X/100 ] }. Беря логарифм от обеих частей имеем: T = t × LN [ 1 ± Y/100 ] / LN [ 1 ± X/100 ]. Если же задача была поставлена не как "увеличится/снизится на Y%", а как "увеличится/снизится в Z раз", то на место (1 ± Y/100)  сразу ставите Z.
  4. Надо также понимать пересчет "номинальных" процентов в "сложные" (реальные; в Германии в области кредитования говорят "эффективные"). Если номинальная ставка, допустим, 12% в год, а проценты начисляются (или удерживаются) раз в год, то это значит увеличение в 1,12 раз в год (или снижение в 0,88 раз в год). Если речь о тех же "12% годовых", но раз в месяц, то изменение будет 12%/12=1% в месяц, то есть увеличение в 1,01 раз в месяц (либо снижение в 0,99 раз в месяц). При пересчете на год реально получим увеличение в 1,01^12 =1,12682503 раз (или снижение в 0.99^12=0.88638487 раз). Иными словами, реальная (сложная, эффективная) процентная ставка составляет примерно 12,7% при начислении (при удержании - примерно 11,4%). И т. д. Впрочем, если речь о кредите, реальный процент надо считать не "удерживаемым", а "начисляемым", поскольку он первым делом НАЧИСЛЯЕТСЯ на сумму долга (ПРИБАВЛЯЕТСЯ к ней), а не вычитается из чего-то там еще. То есть, если вы одолжили деньги под 1% в месяц,  то годовая цена кредита - около 12,7% в год, а не 12% и уж тем паче не 11,4%.
  5. Проценты (за долг, например, или на банковский депозит) могут сочетаться с регулярным или нерегулярным поступлением/съемом денег. В таком случае надо посчитать увеличение (суммы долга или депозита) к моменту поступления/съема (считаете во сколько раз и умножаете результат на исходную сумму) и затем добавить или вычесть (знак -  по обстоятельствам: увеличивается сумма долга/депозита или снижается) поступление/съем, а дальнейшие проценты пойдут уже на эту сумму или разность. Если таких операций много, можно все считать в электронной таблице, написав один раз формулу с неизвестными из разных столбцов. Если поступление/съем периодичны и в постоянных суммах, можно применить формулу для суммы геометрической прогрессии (прогрессия там появляется очевидным образом), но это, вероятно не для вас, раз у вас проблемы даже с "формулой процентов". Дай бог, чтобы хоть с электронной таблицей у вас получилось.
Всё, что нужно знать о деньгах Как на самом деле работают системы денежных переводов?Если я куплю биткоины, что мне с ними потом делать?Как проще всего переводить деньги родителям, бабушкам и дедушкам?На чем экономят богатые?
3
Прокомментировать
Ответить