Монетка подброшена бесконечное количество раз. Будет ли на этом бесконечном отрезке вероятность выпадение как орла, так и решки, приближена к 50%?

191
2
2
12 октября
21:50
14 октября
04:08

"Монетка подброшена бесконечное количество раз. Будет ли на этом бесконечном отрезке вероятность выпадение как орла, так и решки, приближена к 50% ?"Я процитировала ваш вопрос, чтобы мой ответ, не казался странным, если вы измените формулировку.


Вероятность выпадения орла или решки при каждом бросании (идеальной) монетки не может зависеть от количества бросаний. Она равна 50% всегда. И не приблизительно 50, а строго 50. Наверно, вы хотели спросить "при бесконечном числе бросаний, будет ли количество орлов приближено к 50% процентам?"

Тут мы должны обратится к одной из центральных теорема математической статистики — теории больших чисел. Она утверждает, что при стремлении числа экспериментов к бесконечности, фактическое среднее будет стремится к теоретическому среднему.

Чтобы применить это к нашему случаю с монетками, положим выпадение орла равное 1, а решки — (-1). Тогда теоретическое значение среднего будет равно 0, согласно тому, что написано в первом абзаце. А фактическое — тому что мы получим в ходе эксперимента. Например, комбинация орел-орел-решка даст (1+1-1)/2=1/2. 

При стремлении же числа бросаний к бесконечности, фактическое средние будет стремится к теоретическому, то есть к 0. Это значит, что отношение числа выпавших орлов, к выпавшим решкам стремится к 1. Другими словами это можно сказать так: при стремлении числа бросаний к бесконечности, число выпавших орлов стремится к 50%. Или так: при бесконечном числе бросаний, число орлов будет равно 50%".

Анна Синельниковаотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
26
5
15 октября
05:47

Ответ Анны совершенен, поэтому ни добавить ни убавить ничего не могу.

Поэтому ограничусь чисто техническими замечаниями к формулировке вашего вопроса. Отрезок не может быть бесконечным. У него по определению есть две концевые точки. Отрезок это какое-то подмножество определённого пространства, мера Жордана которого отображается в какое-то вещественное значение. В случае отрезка в евклидовом пространстве мера Жордана представляет собой просто длину. Да, отрезок состоит из бесконечного количества точек, но имеет при этом конечную длину. Это две разные его ипостаси - конечность в одном и бесконечность в другом (ну например: отрезок от 0 до 1, там бесконечное количество точек. Как получается длина отрезка? 1 - 0 = 1. Продолжая мысль - этот отрезок есть бесконечная сумма меньших отрезков, расположенных между другими точками.

Притом исходя из определения вещественных чисел как всюду плотного множества, получим, что между любыми двумя точками бесконечное количество промежуточных точек всегда. Соответственно, и расстояния между ними могут бесконечно стремиться к нулю. И вот сумма всех этих расстояний даст нам весь отрезок. Разумеется, если мы договоримся удалять пересечения. Например: отрезок от 0 до 1/2 и отрезок от 1/4 до 1/2. Суммировать их можно, но пересечение лучше убрать, т.к. отрезок от 1/4 до 1/2 входит в отрезок от 0 до 1/2. Действуем по формуле включений-исключений. И кстати, в матанализе действует принцип вложенных отрезков Коши-Кантора, из которого и выводится, что вещественные числа образуют всюду плотное множество (помните ещё, что это такое? :) Вот это и есть он, принцип Коши-Кантора - длины вложенных отрезков стремятся к нулю, и для них всех существует только одна общая точка пересечения.

Насчёт суммирования длин: мы можем отрезок от 0 до 1 бесконечно делить пополам, стремясь к нулю. При этом мы знаем, что остальные точки находятся в этих меньших отрезках и хорошо себя чувствуют. Тогда отрезок от 0 до 1 выразится так: 1/2 + 1/4 + 1/8.... и так далее до 0. Этот бесконечный ряд сходится и равен он 1. Так же вы можете постоянно делить на 3, получая отрезки другой длины и соответственно, другой ряд: 1/3 + 1/9 + 1/27... который  сходится к 1/2. И так далее (в случае 4 ряд сходится к 1/3, и т.д.). Вообще, для любого натурального n сумма ряда (1/n)^m, где степень m пробегает натуральные значения от 1 до бесконечности, сходится к 1/(n-1).

На счёт "монетка подброшена бесконечное количество раз". Тут вы вводите актуальную бесконечность, за что  я руками и ногами. Но вам же было бы проще для понимания рассмотреть это как потенциальную бесконечность - неограниченное возрастание количества подбрасываний монетки. И закон больших чисел выступает здесь как великий уравнитель: предположить, что у вас выпала 400 раз только одна сторона монетки.

Притом что монетка идеально сбалансирована и ведёт себя прилично. Это не значит, что более вероятно, что на 401 раз она выпадет той же стороной  что и до этого. Неверно так же, что она выпадет обратной стороной (мол, навыпадалась уже, хватит с неё). Наоборот, вероятность выпасть на 401 раз орлом или решкой по-прежнему 1/2. Потому что монетка ничего этого не помнит, у неё нет памяти о том, чем, как и сколько раз она выпала. Каждый раз как в первый класс, как говорится. И вот закон больших чисел это уравнивает - 400 раз орлом, потом 1 раз решкой, 2 раза орлом, 23 раза решкой и 4 раза орлом, и т.д. и т.п., пока не получите, например 4000 раз орлом и 4000 раз решкой. Образно выражаясь. Хотя вероятность события "монетка выпала 400 раз орлом" исчезающе мала - рассчитывается как 1/2 в степени 400. А это оч мало.

7
0
Если вы знаете ответ на этот вопрос и можете аргументированно его обосновать, не стесняйтесь высказаться
Ответить самому
Выбрать эксперта