Михаил Романов
октябрь 2017.
774

Монетка подброшена бесконечное количество раз. Будет ли на этом бесконечном отрезке вероятность выпадение как орла, так и решки, приближена к 50%?

Ответить
Ответить
Комментировать
3
Подписаться
0
3 ответа
Поделиться
АВТОР ВОПРОСА ОДОБРИЛ ЭТОТ ОТВЕТ

"Монетка подброшена бесконечное количество раз. Будет ли на этом бесконечном отрезке вероятность выпадение как орла, так и решки, приближена к 50% ?"Я процитировала ваш вопрос, чтобы мой ответ, не казался странным, если вы измените формулировку.


Вероятность выпадения орла или решки при каждом бросании (идеальной) монетки не может зависеть от количества бросаний. Она равна 50% всегда. И не приблизительно 50, а строго 50. Наверно, вы хотели спросить "при бесконечном числе бросаний, будет ли количество орлов приближено к 50% процентам?"

Тут мы должны обратится к одной из центральных теорема математической статистики — теории больших чисел. Она утверждает, что при стремлении числа экспериментов к бесконечности, фактическое среднее будет стремится к теоретическому среднему.

Чтобы применить это к нашему случаю с монетками, положим выпадение орла равное 1, а решки — (-1). Тогда теоретическое значение среднего будет равно 0, согласно тому, что написано в первом абзаце. А фактическое — тому что мы получим в ходе эксперимента. Например, комбинация орел-орел-решка даст (1+1-1)/3=1/3. 

При стремлении же числа бросаний к бесконечности, фактическое средние будет стремится к теоретическому, то есть к 0. Это значит, что отношение числа выпавших орлов, к выпавшим решкам стремится к 1. Другими словами это можно сказать так: при стремлении числа бросаний к бесконечности, число выпавших орлов стремится к 50%. Или так: при бесконечном числе бросаний, число орлов будет равно 50%".

Анна Синельниковаотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
27

Я, наверное, плохой человек, но когда вы выпадение орла назвали 1, а решки -1, и начали суммировать, мне сразу вспомнился ряд Гранди в случае стремления числа слагаемых к бесконечности. Забавно, на самом деле.

0
Ответить

А как в данном случае решается проблема выпадания на ребро?

0
Ответить

Андрей, по условию его не может быть. Мы рассматриваем идеальную математическую модель, где у монеты только 2 стороны, а не 3. Т.к. в реальном мире у монеты действительно 3 стороны и в некоторых случаях монетка способна упасть на 3 сторону, покатиться, либо повертеться, а затем упасть. Так что поэтому выпадение на ребро статистически гораздо менее вероятно, чем выпадение на орёл или решку, так что при подбрасывании монетки неограниченное количество раз произойдёт выравнивание по исходному принципу: большая часть придётся на орёл и решку, и совсем незначительная на выпадение решки.

Американцы вот, проводили эксперимент для американского цента из никеля - у них вышло, что вероятность выпадения на ребро есть 1/6000     Поэтому при 6001 подбрасывании получится в районе 3000 орлов, в районе 3000 решек,  и только 1 выпадение на ребро.

Ссылка на оригинал этой исследовательской статьи, если это Вам интересно. Только предупреждаю: она написана по-английски: https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.48.2547

0
Ответить
Ещё 5 комментариев

Анна, это же так все банально и заезжено! Мне кажется, Вы бы могли свой ум на более будоражащие вопросы направить) например, как это делаете Susanna

0
Ответить

комбинация орел-орел-решка даст (1+1-1)/2=1/2  

(1+1-1)/3=1/3

+2
Ответить

Да, это опечатка. Надо бы исправить число бросаний монетки.

0
Ответить

Антон, от вашего комментария повеяло моей любимой постсоветской школой. Эти, прекрасные сравнения с другими по каким-то формальным, заведомо необъективным критериям, сделанные всегда не в пользу ученика. Эти неявно высказанные идеи, что ученик не в состоянии сам оценивать инертность, сложность, важность тем. Это еле-уловимое пренебрежение к интересам ученика, и к его внутреннему миру. И все это перед всем классом и так лаконично — буквально в одном предложение! Эх... Были времена!  Аж прослезилась... :)

Ну а если серьезно, то это отнюдь не банально. Альбер в самом первом комментарии упомянул ряд Гранди — ряд вида: 1-1+1-1+1... Может показаться, я проигнорировала это, но на самом деле спасибо Альберту за это большое. Так вот, этот ряд — расходится. То его сумма не просто не равна 0, а его вообще нет.

Очевидно, в нашем эксперименте монетка не может выпадать орел-решка-орел-решка... Но в пределе бесконечности, как мы уже знаем, число орлов и решек будет одинаковое, а значит результат нашего эксперимента можно привести к виду рядя Гранди просто меняя слагаемые местам. И мы приходим к явному противоречию, так как наш эксперимент давал в сумме 0. В сем же дело?

Предлагаю вам ответить на это вопрос.

+1
Ответить

Анна, какие постсоветские школы. Это мое субъективное мнение. Мне было неинтересно читать ответ на вопрос, потому что мне это кажется очевидным и тысячу раз пережеванным, и я подумал, что feedback, возможно, будет полезен. Если Вы думаете иначе - это ваше право. Никто не посягается на ваши интересы и, тем более, ваш внутренний мир :)

Анна, что вы хотели показать своим вопросом? То что в теме орла-решки можно поднять найти нетривиальные моменты, еще не набившие оскомину? Ну да, наверно можно, если сильно хочется. Но мой комментарий относился конкретно к исходному вопросу и ответу на него.

Отвечая на ваш вопрос

Во-первых сравнивать ряд Гранди и ваш эксперимент в принципе некорректно. Ваш эксперимент работает в вероятностном пространстве и стремление к нулю идет тоже по вероятности, что не эквивалентно сходимости в обычном смысле. Все эти манипуляции с перестановками результатов вероятностного эксперимента в математике также, в общем случае не работают.

 Во-вторых если все же проводить параллель, то ряд Гранди вычисляет сумму случайных величин, а не их среднее. Если бы последовательность частичных сумм была вида (1, 0, 1/3, 0, 1/5, 0 ....) то ряд бы прекрасно сходился к нулю.

+2
Ответить
Прокомментировать

Ответ Анны совершенен, поэтому ни добавить ни убавить ничего не могу.

Поэтому ограничусь чисто техническими замечаниями к формулировке вашего вопроса. Отрезок не может быть бесконечным. У него по определению есть две концевые точки. Отрезок это какое-то подмножество определённого пространства, мера Жордана которого отображается в какое-то вещественное значение. В случае отрезка в евклидовом пространстве мера Жордана представляет собой просто длину. Да, отрезок состоит из бесконечного количества точек, но имеет при этом конечную длину. Это две разные его ипостаси - конечность в одном и бесконечность в другом (ну например: отрезок от 0 до 1, там бесконечное количество точек. Как получается длина отрезка? 1 - 0 = 1. Продолжая мысль - этот отрезок есть бесконечная сумма меньших отрезков, расположенных между другими точками.

Притом исходя из определения вещественных чисел как всюду плотного множества, получим, что между любыми двумя точками бесконечное количество промежуточных точек всегда. Соответственно, и расстояния между ними могут бесконечно стремиться к нулю. И вот сумма всех этих расстояний даст нам весь отрезок. Разумеется, если мы договоримся удалять пересечения. Например: отрезок от 0 до 1/2 и отрезок от 1/4 до 1/2. Суммировать их можно, но пересечение лучше убрать, т.к. отрезок от 1/4 до 1/2 входит в отрезок от 0 до 1/2. Действуем по формуле включений-исключений. И кстати, в матанализе действует принцип вложенных отрезков Коши-Кантора, из которого и выводится, что вещественные числа образуют всюду плотное множество (помните ещё, что это такое? :) Вот это и есть он, принцип Коши-Кантора - длины вложенных отрезков стремятся к нулю, и для них всех существует только одна общая точка пересечения.

Насчёт суммирования длин: мы можем отрезок от 0 до 1 бесконечно делить пополам, стремясь к нулю. При этом мы знаем, что остальные точки находятся в этих меньших отрезках и хорошо себя чувствуют. Тогда отрезок от 0 до 1 выразится так: 1/2 + 1/4 + 1/8.... и так далее до 0. Этот бесконечный ряд сходится и равен он 1. Так же вы можете постоянно делить на 3, получая отрезки другой длины и соответственно, другой ряд: 1/3 + 1/9 + 1/27... который  сходится к 1/2. И так далее (в случае 4 ряд сходится к 1/3, и т.д.). Вообще, для любого натурального n сумма ряда (1/n)^m, где степень m пробегает натуральные значения от 1 до бесконечности, сходится к 1/(n-1).

На счёт "монетка подброшена бесконечное количество раз". Тут вы вводите актуальную бесконечность, за что  я руками и ногами. Но вам же было бы проще для понимания рассмотреть это как потенциальную бесконечность - неограниченное возрастание количества подбрасываний монетки. И закон больших чисел выступает здесь как великий уравнитель: предположить, что у вас выпала 400 раз только одна сторона монетки.

Притом что монетка идеально сбалансирована и ведёт себя прилично. Это не значит, что более вероятно, что на 401 раз она выпадет той же стороной  что и до этого. Неверно так же, что она выпадет обратной стороной (мол, навыпадалась уже, хватит с неё). Наоборот, вероятность выпасть на 401 раз орлом или решкой по-прежнему 1/2. Потому что монетка ничего этого не помнит, у неё нет памяти о том, чем, как и сколько раз она выпала. Каждый раз как в первый класс, как говорится. И вот закон больших чисел это уравнивает - 400 раз орлом, потом 1 раз решкой, 2 раза орлом, 23 раза решкой и 4 раза орлом, и т.д. и т.п., пока не получите, например 4000 раз орлом и 4000 раз решкой. Образно выражаясь. Хотя вероятность события "монетка выпала 400 раз орлом" исчезающе мала - рассчитывается как 1/2 в степени 400. А это оч мало.

10
Прокомментировать

Мой ответ на этот вопрос будет отличаться от предыдущих.  Эксперимент с бесконечным бросанием монеты является физически нереализуемым. Поэтому вопрос о том, что произойдет в таком эксперименте, некорректен и не имеет ответа. Разные модели могут дать разные ответы, и у нас нет способа проверить, какой из них "правильный". Собственно, даже понятия "правильный" тут фактически нет, поскольку правильный - это согласующийся с экспериментом, а такой эксперимент невозможен.

Это было первое обстоятельство. Есть и второе. Теория вероятностей в принципе не дает ответов на вопросы типа "что произойдет в случайном опыте". Она отвечает только о том, какова вероятность тех или иных случайных событий. В некоторых случаях она может ответить, что вероятность каких-то событий равна нулю, однако нужно помнить, что события нулевой вероятности тоже могут происходить, это не запрещено никакой теорией. Теория вероятностей утверждает, что при большом числе бросаний монеты вероятность существенного отклонения наблюдаемой частоты от теоретической вероятности становится все более близкой к нулю. То есть событие становится все более маловероятным, однако надо всегда помнить, что маловероятные событие тоже происходят, просто редко. В случае модели бесконечного бросания монеты элементарными исходами являются все возможные бесконечные последовательности. Все возможные, включая и "неправильные", и любая из них может "произойти" (в кавычках, поскольку напоминаю, что речь идет о физически нереализуемом опыте). Вариант, при котором монета все разы упадет одной и той же стороной, ничем не отличается от любого другого конкретного варианта. Но при этом можно доказать, что варианты бросаний, при которых частота выпаданий одной стороны не стремится к 1/2, имеют вероятность ноль. Однако пока мы их не исключили из элементарных исходов, они могут произойти. Можно рассмотреть другую модель, в которой такие неправильные последовательности просто исключены из пространства элементарных исходов. Такая модель будет утверждать, что они действительно произойти не могут. Какая из двух моделей "правильная" - мы проверить не можем, как я уже отмечал выше. Работать удобнее с первой, в которой любые результаты бросания являются допустимыми.

2
Прокомментировать
Ответить