Игорь Трофимов
октябрь 2017.
24

Точка движется в плоскости, с пост. ускорением 2м/с2 и направлена ||ох.Опред радиус кривизны в t=1с, если в t=0, v0=2м/с и направлена под углом 30 к оси оУ.?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
1
1 ответ
Поделиться

Радиус кривизны траектории R = (V^2 / |An| ), где V - величина скорости, а |An| -  величина нормальной (перпендикулярной, ортогональной) по отношению к скорости компоненты ускорения An.

Поскольку все происходит в плоскости, вектора имеют только две координаты.

Вектор ускорения A =  (Ax, 0), где Ax = 2 м/с^2 - по условиям задачи. Это если ваше "||ох"  означает "сонаправлен ох". Если же это значит "параллелен ох", то Ax может быть и меньше нуля (= - 2 м/с^2) и больше нуля (= + 2 м/с^2), что приведет к разным результатам. В такой формулировке задача будет иметь два разных решения.

В момент t=0, скорость V(0) = V0 = (V0x, V0y), где |V0| = 2 м/с, |V0x|=|V0|×Sin(30°), |V0у|=|V0|×Cos(30°). Со знаками, опять же, непонятно. Знак V0у для поставленного в задаче вопроса роли не играет, так как эта компонента ортогональна ускорению. А знак V0x - еще как играет. Впрочем, с учетом неопределенности знака для Ax, количество возможных значений R уже не увеличится все равно.

Ладно, будем пока считать, что все знаки известны, а про неопределенность знаков вспомним, когда числа подставлять будем.

Как будет меняться скорость со временем? V(t) = V0 + tA = ( V0x + tAx , V0y )

Чему равен квадрат скорости? V(t)^2 = ( V0x + tAx)^2 + V0y^2 = V0^2 + 2tAV0 + (tA)^2.

Напомню, что здесь есть неопределенность насчет знака скалярного произведения вектора начальной скорости и вектора ускорения. Произведение AV0 может быть и отрицательным.

AV0 = AxV0x = ±(2 м/с^2)×(2 м/с)×Sin(30°) = ± (4 м^2/с^3) × 0,5 = ± 2 м^2/с^3

Для полного счастья осталось найти |An|.

Сначала найдем скалярное произведение ускорения и скорости: AV(t) = AV0 + tA^2. Здесь тоже есть неопределенность насчет знака скалярного произведения AV0.

С другой стороны, A=An+At, где At - тангенциальная (параллельная) скорости компонента, а буква t для разнообразия обозначает не время, а первую букву в слове "тангенциальная". (Чтобы не было путаницы, время я постоянно пишу перед ускорением, а индекс, естественно, после.) Причем, AnV=0 по определению (скалярное произведение ортогональных векторов). Поэтому AV(t) = AtV(t).

Соответственно, |Аt| = |AV(t)| / |V(t)|, (At)^2 = ( AV(t) )^2 / V(t)^2.

С др. стороны, A^2 = (An)^2 + (At)^2, так как равно нулю скалярное произведение AnAt (из-за ортогональности).

В итоге: (An)^2 = A^2 - (At)^2 = A^2 - ( AV(t) )^2 / V(t)^2.

Берем квадратный корень: |An| = { (A^2)(V(t)^2) - ( AV(t) )^2 }^(1/2) / (V(t)^2)^(1/2)

Все формулы есть, осталось подставить их в формулу для радиуса кривизны:

R = (V^2 / |An| ) = (V(t)^2)^(3/2) / { (A^2)(V(t)^2) - ( AV(t) )^2 }^(1/2) =

= [ V0^2 + 2tAV0 + (tA)^2]^(3/2) / { (A^2) × [ V0^2 + 2tAV0 + (At)^2] - ( AV0 + tA^2 )^2 }^(1/2) =

= [ V0^2 + 2tAV0 + (tA)^2]^(3/2) / { (A^2) × (V0^2) - ( AV0 )^2 }^(1/2) =

это и есть решение (конечная формула) - осталось подставить значения

= [ 4м^2/с^2 + 2×1с×( ± 2 м^2/с^3) + ( 1с × 2м/с^2)^2) ]^(3/2) / { ( 2м/с^2)^2 × 4м^2/с^2  - ( ± 2 м^2/с^3)^2 }^(1/2) =

= [ (8 ± 4) м^2/с^2 ]^(3/2) / { 12 м^4/с^6 }^(1/2) = (8 ± 4)м×{ (8 ± 4) / 12 }^(1/2)

Таким образом, в зависимости от взаимной ориентации (которая условиями задана с точностью до неизвестного нам знака скалярного произведения) вектора ускорения A и вектора начальной скорости V0, получим либо

R=12 метров, если скалярное произведение этих векторов положительно и

R= 4×(корень из 3) метров, если оно отрицательно.

Но тупые составители задачи несомненно ожидают от еще более тупых (по их мнению) школьников или студентов ответа 12 метров и, скорее всего, даже не догадываются, что их нечеткие формулировки допускают и альтернативную возможность.

Ответить