Каким образом можно сравнить две бесконечности?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
2
2 ответа
Поделиться

В теории множеств мы можем сравнить бесконечные множества(т.е. бесконечности), как мы сравниваем конечные множества по числу элементов.

-----------------------------

Справка:

Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A будет элементом множества B

Два множества равномощны, если каждому элементу множества A можно сопоставить единственный элемент множества B по какому-то закону. 

card(X) - кардинальное число множества X.

-----------------------------

Введем такую характеристику для множеств как кардинальное число. Для конечных множеств это будет количество элементов в множестве. 

Для бесконечных множеств кардинальное число является обобщением понятия числа элементов.

Хотя кардинальные числа бесконечных множеств не имеют отражения в натуральных числах, но их можно сравнивать.

Если множество A равномощно подмножеству B, то card(A)<=card(B).

Если множество B равномощно подмножеству A, то card(B)<=card(A)

Если card(B)<=card(A) и card(A)<=card(B), то card(B)=card(A). 

При этом сравнение кардинальных чисел бесконечных множеств теми же свойствами, что и сравнение действительных чисел.

----------------------------------------

 Таким образом мы можем сравнивать бесконечные множества. Так можно сказать, что бесконечность действительных чисел больше чем, например, натуральных.  Известно, что кардинальное число натуральных чисел наименьшее возможное среди бесконечных множеств.

 P.S. Многих, впервые столкнувшихся с теорией множеств, может поставить в тупик, что множество может быть равномощно своей части (строгому подмножеству). Так например все рациональные числа равномощны натуральным числам.

7

Между прочим, не известно, существует ли такое множество X, что card(N)<card(X)<card(R), но известно, что кардинальное число натуральных чисел наименьшее возможное среди бесконечных множеств.

Некорректная формулировка. Существование множества Х зависит от принятия или непринятия континуум-гипотезы. 

0
Ответить

Да, но это если мы работает в рамках аксиоматики ZF.

0
Ответить

Вырезал формулировку.

0
Ответить
Ещё 1 комментарий

Неправильно говорить, что мы не знаем. Правильно говорить "мы знаем, что будет существовать множество промежуточной мощности если мы откажемся от континуум-гипотезы".

0
Ответить
Прокомментировать

Это вам прямиком сюда https://youtu.be/vlIA0ujw8lI (Vsauce). Там целый зоопарк этих бесконечностей, одна больше другой. хххххххххххххххххххххххххххххх

-1
Прокомментировать
Ответить