В паблике 365 подписчиков. Какова вероятность того, что у одного из них сегодня день рождения?

244
2
0
7 октября
15:00
10 октября
22:05

Как уже показано в предыдущем ответе, вероятность, что это день рождения ХОТЯ БЫ У ОДНОГО из N подписчиков = 1 - (364/365)^N. Для N = 365 это дает вероятность = 1 - 0,36737439 = 0,6326256

Вероятность, что это день рождения РОВНО У ОДНОГО из N подписчиков = {N! / [ (N-1)! × 1! ]} × {(1 - 364/365 )^1} × {(364/365)^(N-1)} = N × (1 - 364/365 ) × (364/365)^(N-1). Для N = 365 это дает вероятность = (364/365)^364 =0,36838366

UPD. С високосными годами

а можете посчитать с високосными годами?

(вопрос из комментариев)

Без високосных лет у каждого из N подписчиков вероятность родиться в конкретный день - P=1/365 и не родиться - (1-P)=364/365, а вероятности отдельных событий (никто не родился; ровно один родился; ровно два родилось;... ; все N родились) являются слагаемыми разложения бинома { P + (1-P) }^N.

В случае с високосными годами ДОПОЛНИТЕЛЬНО появляются 1) люди, родившиеся в обычный день високосного года, и 2) люди, родившиеся 29 февраля. У первых все те же вероятности P и (1-P) для обычных дней и 0 для 29 февраля. У вторых - Q=1 для 29 февраля и 0 для прочих дней. Если мы знаем число M родившихся 29 февраля,то:

  • для обычных дней вероятности событий являются слагаемыми разложения бинома { P + (1-P) }^(N-M),
  • а для 29 февраля - родилось M человек с вероятностью Q^M=1.

В случае с високосными годами, если мы не знаем конкретное M, придется оценивать вероятности разных M и суммировать их произведения с { P + (1-P) }^(N-M). Или пойти иным путем, что я и сделаю. С точки зрения рождаемости, 29 февраля не отличается от 28 февраля, 1 марта и прочих дней, если не учитывать сезонные колебания. Поэтому для четырехлетнего интервала имеем вероятность родиться в один из 1461 день - R=1/1461, а вероятность не родиться в этот день четырехлетнего цикла - (1-R). Вероятности отдельных событий в четырехлетнем цикле - слагаемые разложения для бинома { R + (1-R) }^N.

Соответственно, имеем

  • вероятность ничейного рождения в конкретный день четырехлетнего цикла равна (1-R)^N
  • вероятность рождения ровно одного человека в конкретный день четырехлетнего цикла равна {N! / [ (N-1)! × 1! ]} × {(R )^1} × {(1-R)^(N-1)}

Здесь под "днем" (или "датой") понимается некое уникальное (встречающееся один и только один раз за все 4 года обозначение какого-то дня). Такие уникальные "дни" ("даты") повторяются ровно один раз каждые четыре года.

Теперь осталось перейти от четырехлетнего цикла и его уникальных "дат" к обычным и високосным годам с их датами, большинство из которых неуникальны в рамках четырехлетнего цикла.

В отличие от прочих традиционных дат 29 февраля наступает в четырехлетнем цикле всего один раз, то есть является уникальной (но не особенной!) датой и для четырехлетнего цикла. Соответственно, вероятность рождения ровно 1 человека из N для 29 февраля равна = {N! / [ (N-1)! × 1! ]} × {(R )^1} × {(1-R)^(N-1)}. Напомню,что R=1/1461.

Все остальные традиционные даты встретятся по 4 раза за четырехлетний цикл. Рождение ровно одного человека для традиционной даты - это рождение одного в какую-то из четырех уникальных дат четырехлетнего и нерождение ни одного в трех прочих уникальных. Саму "какую-то" уникальную дату можно выбрать 4 способами из 4 кандидатов.

Полная вероятность события "рождение одного в традиционную дату, отличную от 29 февраля - это произведение числа выборок "какой-то" уникальной даты из четырех, вероятности рождения одного в эту уникальную дату и трех вероятностей нерождения ни одного в каждую из трех оставшихся уникпльных дат четырехлетнего цикла.

То есть, эта полная вероятность равна

= 4N × [{N! / [ (N-1)! × 1! ]} × {(R )^1} × {(1-R)^(N-1)}]^1 × [{N! / [ (N-0)! × 0! ]} × {(R )^0} × {(1-R)^N}]^3 =

= 4N × [ N×R×(1-R)^(N-1) ] × [(1-R)^(3N)] =

= 4N × [ R / (1-R) ] × (1-R)^(4N), где R=1/1461.

Домашнее задание автору вопроса:

  1. проверьте и убедитесь, что 4N × [ R / (1-R) ] × (1-R)^(4N), где R=1/1461, мало отличается от прежней оценки N × [ P / (1-P) ] × (1-P)^N, где P=1/365;
  2. посчитайте вероятности с учетом, что на самом деле високосный год наступает не каждые 4 года, а чуть реже и цикл с уникальными датами должен включать в себя несколько столетий :-)
5
2
7 октября
15:23

Предположим, что корреляции между днями рождения нет (т.е. это не астрологический публик для только козерогов).

Для простоты, проигнорируем високосные годы (что не совсем правильно).

Для одного человека, вероятность, что день рождения не сегодня =  (365-1)/365 = 364/365.

Для N человек, вероятность, что день рождения не сегодня ни у одного из них =  (364/365)^N.

А вероятность, что сегодня день рождения по крайней мере у одного (или более!) из них = 1 - (364/365)^N.

Dimitri Vulisотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
5
0
Если вы знаете ответ на этот вопрос и можете аргументированно его обосновать, не стесняйтесь высказаться
Ответить самому
Выбрать эксперта