Каким образом можно записать операцию извлечения вещественного корня математическим языком (Запись x^(1/k) считается арифм. или вещест. корнем k-ой ст. из x)?

Это разные вещи. По определению арифметический корень степени n из числа b - неотрицательное число а, которое при возведении которого в степень n мы получим число b. Очевидно, что b не может быть отрицательным (если мы не трогаем комплексные числа).

В это время b^1/n может быть как отрицательным, так и положительным.