неизвестен
Леонид Гнусавый
октябрь 2017.
198

Как должна выглядеть в итоге квантовая теория гравитации? И что она должна из себя представлять как законченная теория? (объясните серьёзно, а не популярно)?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
1
1 ответ
Поделиться

Я не большой специалист по гравитации, признаюсь честно. Наверняка мостистые специалисты по суперсимметриям и супергравитации смогли бы рассказать об этом лучше. А я пока только учусь.

Очень непопулярно описать не получится, т.к. здесь жутко неудобно писать формулы.


Ну, во первых все известные нам сегодня фундаментальные взаимодействия стандартной модели перенормируемы.

Чтобы понять что такое перенормируемость, коснёмся сперва другого вопроса. А именно приближённых вычислений.
К сожалению, наша математика всё таки не идеальный инструмент для описания реального мира. Зачастую она нас подводит. А именно, строгие аналитические точные вычисления приводят к тому, что точных решений некоторых важных уравнений не удаётся найти. Эта проблема встречается не только в квантовой механике. Могу предположить, что впервые она стала важной в астрономии, в которой так же многие задачи просто не имеют ни одного точного решения.

Как же быть в такой ситуации? Решение оказывается довольно элегантным. Можно решать задачу с некоторой определённой степенью точности. Эта степень точности задаётся разложением решения в ряд - некоторую сумму элементарных функций Sum(Cn * Фn). Где Cn - коэффициент n-го члена ряда, Фn - некоторая функция. То есть мы с самого начала ищем решение задачи ввиде ряда. С точки зрения линейной алгебры - это обычное разложение элемента пространства решений по базису данного пространства. Здесь Фn - это базис в этом пространстве. Точно так же как в привычном со школы векторном пространстве любой вектор можно разложить по базису.
Некоторые из этих разложений впоследствии назвали собственными именами - функция Бесселя, Сферические функции, функции Лагера, Макдональда и т п. Сферическими функциями к примеру описывается распределение электронных оболочек в атомах.

Чтобы функция описываемая таким разложением была адекватной функцией, она, как говорят, должна сходиться в интересующей нас области. То есть ряд при увеличении его слагаемых должен стремиться к некоторой адекватной функции (как например геометрическая прогрессия с множителем 0<q<1 ), а не к бесконечности. Интуитивно понятно, что если каждый последующий член ряда будет на порядок меньше предыдущего, то такой ряд кажется должен сходиться. Хотя конечно, эти вопросы исследуются более строго чем интуицией.

В квантовой механике и квантовой теории поля построение таких рядов происходит согласно так называемой теории возмущений. Но не всегда построенные таким образом ряды стремятся к адекватным функциям. Тогда встаёт вопрос - как это исправить. Ведь бесконечности в теории приводят к невозможности хоть что либо в ней посчитать. Оказывается от некоторых таких бесконечностей удаётся избавится. Этот процесс называется перенормировкой теории. Например ряд может стремиться к сумме адекватной функции и бесконечной константы. Тогда эту константу можно просто занулить - грубо говоря отсчитывать от неё. Как например мы можем принять за ноль потенциал в любой удобной точке.
В более сложных случаях в ряд добавляются компенсирующие члены. Их ввод нужно ещё обосновывать. И вот если каждый следующий член ряда много больше предыдущего члена ряда, то таких компенсирующих слагаемых придётся ввести бесконечное множество дабы избавиться от бесконечностей. Это никакой не выход, поскольку посчитать мы попрежнему ничего не сможем.
Так вот такие теории в которых ряд теории возмущений может быть приведён к адекватному виду посредством ограниченного числа компенсирующих членов называется перенормируемой теорией. В противном случае - неперенормируемой.

Так вот, тензорный характер гравитационого взаимодействия приводит к тому что квантование её в лоб даёт неперенормируемую теорию. Тензорный характер означает что гравитационное поле описывается тензором а после квантования частицы - кванты этого поля будут выражаться через этот же самый тензор.

Слабое взаимодействие становится перенормируемым при рассмотрении его как части единого электрослабого взаимодействия.

Нет явных обоснований почему все фундаментальные теории обязаны быть перенормируемыми, однако по какой-то пока неизвестной нам причине природа нас так любит что создала все фунд. взаимодействия перенормируемыми. Полагаю, что квантовая гравитация должна быть перенормируемой. Может быть этого можно достичь построением некоторой более общей теории. Это первый критерий.

Во вторых все известные нам фундаментальные взаимодействия оказываются калибровочными. Это значит что частицы - переносчики взаимодействия являются следствием наличия симметрий некоторых уравнений/теорий. Наличие симметрии означает что мы можем произвести с решениями этих уравнений какие-то действия и от этого они не перестанут быть решениями этих уравнений. Симметрии в теориях описывают не только фундаментальные частицы, но и законы сохранения согласно так называемой теореме Нётер.

Для описания частиц используется трюк, на сколько могу судить, первоначально придуманный Янгом и Миллсом. Теория локально калибруется. Наш мир устроен так, что не все его проявления мы можем пронаблюдать, измерить и т п. Таков например электромагнитный потенциал - мы не можем пронаблюдать его абсолютное значение мы всегда видим только разность потенциалов. То есть потенциал определён с точностью до некоторой произвольной константы. А если копать ещё глубже, то в точности до 4-дивергенции от некоторой функции. В квантовой механике волновые функции обладают похожим свойством - они определяются с точностью до фазового множителя. Об этом я писал как-то вот здесь https://thequestion.ru/questions/121095/mozhete-dostupno-obyasnit-chto-takoe-kvantovyi-suicid. В силу ненаблюдаемости потенциала мы можем прибавлять к нему произвольную 4-дивергенцию, какую нам вздумается. в силу ненаблюдаемости волновой функции, мы можем домножать её на любую комплексную экспоненту. С квантованными полями аналогичная ситуация. Это называется калибровкой. Эта ненаблюдаемость приводит к законам сохранения в теории по теореме Нётер. Интересно что каждая такая калибровка описывается некоторой группой преобразований, которая оставляет решения уравнений решениями этих уравнений (По понятным причинам действие этих калибровочных преобразований не должно ничего поменять в силу ненаблюдаемости калибруемых величин. Почему - описано чуть выше) Такие группы называются группами симметрии и описываются так называемыми группами Ли.
Янг и Миллс предложили рассмотреть локальную калибровку в которой параметр элементов групп Ли зависит от координат. В этом случае неожиданно всё меняется - волновые функции уже становятся решениями другого уравнения. А самое элегантное в этом то, что это новое уравнение (Назовём его уравнением (2)) решениями которого становятся наши волновые функции и поля - это уравнение, описывающее взаимодействие частицы с некоторым полем. Оно отличается от первоначального уравнения наличием в нём ещё одного члена, описывающего взаимодействие) Ну правда - оно один в один совпадает с этим уравнением описывающим взаимодействие частицы с полем которое описывается классической теорией поля.  Более того! Если теперь применить калибровочное преобразование повторно к нашей волновой функцией то оно так и останется решением уравнения (2) и больше ничего меняться не будет. То есть уравнение (2) более правильно описывает наши частицы, т.к. правильно описывает ненаблюдаемые величины. Всё это означает что голых зарядов не связанных с некоторым полем в природе не существует. Всегда если есть заряд - математика автоматически требует наличия поля. связанного с ним.

Если теперь проквантовать нашу теорию, то получатся кванты нашего поля. Например для электромагнитного взаимодействия - это фотоны. Они являются переносчиками взаимодействия. Наглядно это демонстрирует метод диаграмм Фейнмана, который по сути своей является всего лишь иллюстрацией членов в ряде теории возмущений. Взаимодействия в квантовой теории поля получаются введением в уравнение так называемого гамильтониана, описывающего взаимодействие. Далее это уравнение решается по теории возмущений - ввиде ряда. И каждое слагаемое этого ряда иллюстрируется диаграммой фейнмана.

И мне лично квантовая гравитация видится такой же - калибровочной. Поскольку даже уравнение эйнштейна связывает тензор энергии-импульса (т.е. параметры частиц) с геометрией пространства-времени (т.е. грав полем). Точно так же в классической неквантовой теории электромагнетизма уравнения максвелла связывали заряды частиц с электромагнитным полем. 

Можно подумать и о других криетриях. Однако я устал писать и наверное на этом закончу :)

Todd Barryотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
6
Прокомментировать
Ответить