Дмитрий Ноксайт
сентябрь 2017.
4673

Как доказать формулу векторного произведения в координатах ?

Ответить
Ответить
Комментировать
2
Подписаться
2
2 ответа
Поделиться
АВТОР ВОПРОСА ОДОБРИЛ ЭТОТ ОТВЕТ

По определению из Википедии:

Векторное произведение двух векторов — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, норма которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы ориентация пространства и тройки векторов (по порядку cтоящих в произведении и получившегося вектора) совпадали.

А дальше прикреплю фото:

Решая систему в мат. пакете wolfram mathematica (ибо кто-то уже один раз вручную посчитал эти скалярные произведения), получим

То есть

Как и заказывали, получили два вектора, перпендикулярных векторам a, b. Для того, чтобы сохранить ориентацию пространства, выбираем первый вектор c1.

Нашли векторное произведение в координатной форме

P. S. Для непосвященных, норма вектора - ||⋅|| - длинна вектора (в евклидовом пространстве - корень из суммы квадратов координат)

3
-1
Прокомментировать

Это связано с линейностью и антикоммутативностью векторного произведения:

[ax+by, z] = a[x, z] + b[y, z]

[a, b] = -[b, a]

Из определения мы можем сходу сказать, чему оно равно для ортов:

[e1, e2] = e3, [e2, e3] = e1, [e3, e1] = e2

[e1, e1] = [e2, e2] = [e3, e3] = 0

Теперь пользуемся тем, что любой вектор -- линейная комбинация ортов:

a = a1 * e1 + a2 * e2 + a3 * e3

b = b1 * e1 + b2 * e2 + b3 * e3

Отсюда можно выразить:

[a, b] = a1*b2*[e1,e2]+a1*b3*[e1,e3]+a2*b1*[e2,e1]+a2*b3*[e2,e3]+a3*b1*[e3,e1]+a3*b2*[e3,e2]

[a, b] = e3 * (a1*b2 - a2*b1) + e2 * (a3*b1 - a1*b3) + e1 * (a2*b3 - a3*b2)

Никакие системы уравнений здесь решать не надо, это прямое следствия базовых свойств векторного произведения!

Александр Кульковотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
2
0
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью