Это целый комплекс знаний, который я попытаюсь изложить здесь.
Есть такой эффект Доплера. Это эффект удлинения длины волны излучения, если источник от нас удаляется. Это, можно сказать, чисто геометрический эффект, который абсолютно не зависит от физической теории. Чем сильнее источник удаляется, тем больше это смещение.
Есть лабораторные наблюдения спектров (зависимостей интенсивности от частиты) для различных элементов таблицы Менделеева. У определенных элементов есть весьма определенные "линии" выделенных частот, на которых эти элементы поглощают свет и/или излучают.
Такие линии наблюдаются в спектрах галактик (то, что делал Эдвин Хаббл) в таком же порядке, но слегка смещенные по частоте (в сторону красного цвета, поэтому есть термин "красное смещение"). Ну если это те же линии, только слегка смещенные, значит источник от нас удаляется. Так как мы знаем, насколько эти линии смещены, мы можем измерить скорость этих объектов относительно нас.
По другим данным, которые я здесь приводить не буду, но, поверьте, их огромная куча, мы можем узнать расстояние до этой галактики.
Мы знаем расстояние, знаем скорость удаление - можем получить закон Хаббла (который не совсем верный) v = H r, где v - скорость удаления объекта от нас, r - расстояние до него, а H - некая константа (Хаббла).
Получается, что чем дальше, тем быстрее от нас удаляются объекты. Объяснение одно - Вселенная расширяется.
6*. Более поздние и более точные подсчеты показали, что Вселенная не просто расширяется, но расширяется с ускорением (Нобелевская Премия 2011).
По-поводу второй части вопроса. Раз Вселенная расширяется, значит существовала фаза, когда Вселенная была совсем маленькой. Наблюдения космического микроволнового фона это подтверждают: Вселенная действительно была когда-то очень и очень маленькой, ужатой и горячей.
Более подробный анализ и куча проблем, которые я опять же не буду здесь перечислять, показывают, что на самом деле Вселенная должна была когда-то быть очень-очень-очень маленькой, порядка размера Планка, и после должна была быть обязательно стадия быстрого раздувания (стадия инфляции).