Простой ответ: никак. Экономика России ничтожно слаба в сравнении с американской, а космические исследования и проекты стоят ОЧЕНЬ дорого. Правильный ответ: никак и не за чем. Как показала космическая гонка времён холодной войны, гонки в таких делах стоят человеческиъ жизней и бессмысленно израсходованных денег (мы и американцы исследовали одно и то же, что фактически удваивало стоимость этих исследований). Правда в том, что дешевле и разумней заниматься космонавтикой совместно, что мы и наблюдаем последние 25+ лет.
Простой ответ — никак не сможем. Советскую космонавтику похоронили в 90-е годы. А российская корпорация «Роскосмос» будет отставать от NASA ещё 200 лет.
Для этого нужно выбрать ниши, которые американцы ещё не заняли, например зондирование астероидов, спутников Марса, проведение нестандартных экспериментов в невесомости, солнечные паруса. Для этого вовсе не обязательно во всём конкурировать, где-то можно кооперироваться, например одной ракетой запускать несколько исследовательских спутников.