Какая масса должна быть у объекта,чтобы иметь собственную орбиту?

Любую ненулевую. Ускорение объекта в гравитационном поле (или полях) не зависит от конкретного значения его массы. 

Поскольку в системе двух тел вращение происходит вокруг их общего центра масс, то для иллюзии "вращения вокруг Солнца" надо, чтобы масса объекта была намного меньше солнечной. Тогда центр масс окажется внутри Солнца (но не в его геометрическом центре), или рядом с ним. А иначе орбита будет ввглядеть не так, как вы себе, вероятно, представляете.