Невозможно ответить на вопрос, так как трансформация имен являла собой процесс, а не единовременное событие. Уже в классический период римской истории cognomina постепенно вытесняют praenomina и nomina (потому Цицерон, Цезарь, Веспасиан можно встретить чаще, чем Туллий, Юлий и Флавий), однако решающее значение они начинают играть на рубеже III/IV вв. Честно говоря, не могу выделить какую-то одну внятную причину постепенного вытеснения nomina, однако кажется, что роль сыграли: 1) необходимость (само)определения человека (скажем, не очень удобно именоваться каким-то Юлием, когда их сотни тысяч, или, тем паче, Гаем/Титом/Гнеем, когда их миллионы, потому лучше определить себя с помощью уникального имени, и cognomen тут, как правило, самое примечательное); 2) число nomina (как и cognomina, а также, что парадоксальное, praenomina) у одного человека может разрастись до непомерного количества – я уже приводил в ответе на один вопрос пример совершенно дикого имени из 38 компонентов; такой человек явно решил прихвастнуть своей родословной, в которой были случаи, вероятно, усыновления и перехода в другое семейство, потому как родовых именований там немало; из этой груды имен выбираем самое топовое, и называемся им, но при случае можно щеголять полным именованием; 3) наконец, стоить иметь в виду вольноотпущенников и людей, перешедших в поле римского права с получением гражданства: свои имена, привычные и полученные от рождения, они использовали в качестве cognomina, получая praenomen и nomen своего патрона (к примеру: Гай Юлий Гигин, вольноотпущенник Гая Юлия Цезаря Октавиана, т.е. императора Августа; Луций Местрий Плутарх, который получил гражданство через принятие в род своего друга, римлянина Луция Местрия Флора); из эпохи позднего Рима мне вспоминается Диоклетиан, который вообще был Диоклом, и являлся то ли вольноотпущенником, то ли сыном такового; став императором, он получил множество nomina, однако сохранил свое привычное имя, немного отредактировав его с помощью латинского суффикса, и стал Диоклетианом. Praenomina и nomina фиксируются надписями (эпиграфика) и, если мы говорим об императорах, монетами (нумизматика) применительно к тем персонажам позднего Рима, которых мы традиционно знаем под их cognomina (например, Константин и его сыновья). Скажем, и в VI веке привычный нам под именем Юстиниан император носил имя Флавий Петр Саббатий Юстиниан (CIL, V, 8120/3). Мне кажется, что процесс вытеснения традиционного римского именования имел естественный характер, то сами люди не очень фиксировали его, и вряд ли отмечали, что вот, сегодня, наконец, перестали использовать традиционное римское имя.