Добрый день. Ну во-первых, не на всех статуях Октавиан Август изображен так, как в скульптуре, найденной(в 1863) в Прима-Порта(вилла его жены Ливии), но эта скульптура, вероятно, самая известная из всех.
Здесь Октавиан изображен в момент произнесения речи(собственно поэтому и поднятая рука) на Форуме перед своими сторонниками, призывая их начать войну с Антонием(к слову речь оказалась неудачной, т.к. слушатели впоследствии отказались воевать с его полит.соперником). На скульптуре рядом с ним присутствуют дельфин и Амур(тот самый ребенок) – атрибуты богини Венеры; она считалась покровительницей дома Юлиев, а дельфин(на котором и сидит Амур) напоминает, что она родилась из морской пены.