iOS приложения из AppStore
По причинам безопасности, нет. Остерегайтесь приложений, которые утверждают обратное.
Cydia Tweaks
Если есть желание джеилбрейкнуть свой айфон или он уже, можете посмотреть обзоры на такие твики здесь: Best Cydia Tweaks for Screen Recording on Jailbroken iOS 9 and 10 - Cydia Geeks
QuickTime
Если установлен QuickTime на компьютере, можно подключить айфон и записать. Инструкция здесь: How to Record Your iPhone Screen in OS X Yosemite
iOS 11
Если есть возможность и желание, можно обновиться на бету 11 уже сейчас macrumors.com. В 11 версии эта функция присутствует нативно