Есть много способов это сделать, как уже говорилось есть расширения, сайты, а так же приложения. Одним из таких приложений является Chiaki/VKBK - создание и синхронизация локального бэкапа вашего профиля ВК(Пользовался им давно, мне очень понравилось). Все данные сохраняются на сервер вашего приложения/сайта и хранятся в основном в Базе Данных(MySQL), в версии, которой пользовался я еще не было скачивание и сохранения медиа-файлов, но проект не стоит на месте(хотя ВК официально уже закрыло публичный API для получения аудио-файлов).
Что касается сайтов, то наверное apidog.ru с возможностью сохранить переписку(диалог) в формате JSON, просто так ее не прочитать(точнее можно, но не удобно до жути). В данный файл сохраняется все: свои сообщения, сообщения собеседника/собеседников, прикрепленные к ним файлы, документы, изображения, аудио и видео файлы. Прочитать данный файл можно на этом же сайте, просто загрузив диалог. Для знающего человека это может даже показаться удобнее, поскольку формат JSON может декодировать приличное количество ЯП, а далее уже вывести в произвольном и удобном виде, формате.